www.matematikk.org
Trinn 8-10Elever Trinn 8-10Lærer Trinn 8-10Foresatt

En sylinder

Her skal vi finne overflateareal og volum til en sylinder. 

Overflatearealet til en sylinder

Grunnflaten i en sylinder er en sirkel. Vi har to interessante størrelser: radien r i grunnflaten, og sylinderens høyde h.

Sylinder med radius r og høyde h.

Arealet av bunnen og toppen finner vi ved å bruke formelen for areal av sirkelen. Arealet av bunnen og toppen er lik

πr2+πr2=2πr2

For å finne arealet av den buede sideflaten, kan vi tenke at vi bretter denne ut. Da blir denne flaten et rektangel.

Sylinderet er brettet ut - to sirkler og et rektangel.
Bredden (høyden) i rektangelet er høyden i sylinderen. Vi må finne lengden til rektangelet. Denne lengden er det samme som omkretsen til bunnen av sylinderen. Omkretsen til bunnen er 2πr. Arealet av rektangelet er lik

2πrh=2πrh


Nå kjenner vi arealet av bunnen, toppen samt den buede sideflaten til sylinderen. Det gjenstår bare å legge disse sammen.

Areal av overflaten = Areal av bunn + topp + vegg

A=2πr2+2πrh

Da har vi en formel for overflaten til en sylinder hvor vi kjenner grunnflatens radius r og sylinderens høyde h. Denne formelen kan vi, hvis vi ønsker det, omforme ved å utnytte at 2πr er felles faktor i begge leddene:

A=2πr2+2πrh=2πr(r+h)

Dermed sitter vi igjen med enda en formel for arealet av overflaten til en sylinder.

 

Eksempel 1.


Et sveiseverksted skal lage sylinderformede 50 liters ståltanker med grunnflateradius 20cm og høyde 40cm. En kunde bestiller hundre slike tanker. Tankene skal ha en spesiell overflatebehandling, og verkstedet må derfor vite den totale overflaten.

Vi setter direkte inn i formelen og finner overflaten til en tank:

A=2πr(r+h)=2π2020+40 cm27540 cm2

Hundre slike sylindere har dermed en overflate på 754000 cm2=75,4 m2.

Volumet av en sylinder

 

Et sylinder.

Volumet V regnes ut ved å multiplisere arealet av grunnflaten med høyden i sylinderen:

 V=Gh=πr2h 

Se for deg at vi fyller sylinderen med kjempe mange og kjempe tynne rektangler. Volumet av et rektangel er lik grunnflaten multiplisert med høyden til rektangelet;

 Vr=Grh

Jo mindre disse tynne rektanglene er og jo flere det er av dem, desto mer plass tar de i sylinderen. Den samlede grunnflaten til rektanglene utgjør nesten en sirkel. Så da blir volumet av alle de tynne rektanglene arealet av en sirkel multiplisert med høyden;

 V=Ash , hvor As=πr2.

Da har vi at volumet til en sylinder er;

 V=Ash=Gh=πr2h 

 

Eksempel 2.

a) Sebastian skal ut og dykke. Dykkerflasken hans har radius 13 cm og høyde 75 cm. Hvor mye luft rommer dykkerflasken?

Vi setter inn i formelen for volum av en sylinder:

 V=πr2h=π(13 cm)275 cm  39800 cm3 

1 liter =1 dm3 , og det er 1000 kubikkcentimeter i en kubikkdesimeter.

Dykkerflasken til Sebastian rommer 39,840 liter luft.

b) Dykkerflasken til Sebastian er sveiset sammen av 3 mm tykke stålplater. Hvor mange kvadratdesimeter med stålplater ble brukt for å lage dykkerflasken?

Vi setter inn i formelen for overflateareal av en sylinder:

 A=2πr(r+h) 

 A=2π13 cm(13+75) cm=2π1388 cm2 7180 cm2 

Vi husker at det er 100 kvadratcentimeter i 1 kvadratdesimeter.

 A=71,8 dm2 

Det ble brukt 71,8 kvadratdesimeter med stålplater for å lage dykkerflasken til Sebastian.

Publisert: 10.08.2013 Endret: 17.08.2016

Begrep

  • Areal

    Mål for hvor stor flate en figur dekker. Noen måleenheter for areal er m2, cm2 og dm2.

  • Arealenheter

    Mål for flater (areal):
    1 m² = 1 m · 1 m = 10 dm · 10 dm = 100 dm²
    1 dm² = 1 dm · 1 dm = 10 cm · 10 cm = 100 cm²
    1 cm² = 1 cm · 1 cm = 10 mm · 10 mm = 100 mm²


    Spesielt:
    1 ar = 100 m2
    1 dekar = 10 ar = 1000 m2 = 1 mål
    (deka betyr 10)

  • Avrunding

    Avrunding brukes når vi klarer oss med en tallverdi som ikke er helt nøyaktig. Ofte gjør vi dette fordi det er lettere å huske avrundede tall. Det er regler for hvordan vi skal runde av et tall.
    Avrundingstegnet, ≈, bruker vi slik:
    658 ≈ 700

  • Lengdeenhet

    Måleenheten for lengde er meter med forkortelsen m. Andre lengdemål avledet av meter er kilometer (km), desimeter (dm), centimeter (cm) og millimeter (mm).

  • Meter

    Meter er måleenheten for lengde. Forkortelsen er m. Mange andre lengdemål er avledet av meter:

    kilometer: 1 km = 1000m
    desimeter: 10 dm = 1 m
    centimeter: 100 cm = 1 m
    millimeter: 1000 mm = 1 m