www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt
Tilbake til eksamensoversikten

Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.


Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

AkerBP PGS

REA3024 2016 HØST

Eksamenstid
5 timer:

Del 1 skal leveres inn etter 3 timer.

Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler på del 1
Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler

Hjelpemidler på del 2
Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte
Del 1 har 7 oppgaver. Del 2 har 4 oppgaver.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Dersom oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, kan en alternativ metode gi lav/noe uttelling.

Bruk av digitale verktøy som graftegner og CAS skal dokumenteres med utskrift eller gjennom en IKT-basert eksamen.

Veiledning om vurderingen
Poeng i del 1 og del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

  • viser regneferdigheter og matematisk forståelse 

  • gjennomfører logiske resonnementer 

  • ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner 

  • kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler 

  • vurderer om svar er rimelige 

  • forklarer framgangsmåter og begrunner svar 

  • skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger

Andre opplysninger
Kilder for bilder, tegninger osv.:


  • Befolkning: www.dagbladet.no (06.05.2016)
  • Alle grafer og figurer: Utdanningsdirektoratet

 

DEL 1 uten hjelpemidler

Oppgave 1 (4 poeng) Nettkode: E-4PBT

Deriver funksjonene

f(x)=3cos2x

Løs oppgaven her

b)

 

g(x)=esinx

Løs oppgaven her

c)

h(x)=xsinx

Løs oppgaven her

Oppgave 2 (5 poeng) Nettkode: E-4PBX

Bestem integralene

a)

(x23x+2)dx

Løs oppgaven her

b)

xcosx dx

Løs oppgaven her

c)

2xsinx2 dx

Løs oppgaven her

Oppgave 3 (4 poeng) Nettkode: E-4PC1

En rett linje går gjennom A(0,0) og B(h,r) der h og r er to positive tall.

a)

Bestem ligningen for linjen, uttrykt ved h og r.

Løs oppgaven her

b)

Linjestykket AB roteres 360 om x-aksen. Vi får da et omdreiningslegeme.

Bestem et uttrykk for volumet til omdreiningslegemet.
Hva slags legeme har du regnet ut volumet til?

Løs oppgaven her

Oppgave 4 (6 poeng) Nettkode: E-4P7A

En funksjon f er gitt ved

f(x)=3sin(π2x)+5,Df=0,12

a)

Bestem perioden til f.

Løs oppgaven her

b)

Bestem ekstremalverdiene ymin og ymaks.

Løs oppgaven her

c)

Forklar hvorfor grafen vil ha alle sine vendepunkter på likevektlinjen. Bestem koordinatene til vendepunktene.

Løs oppgaven her

d)

Lag en skisse av grafen til f.

Løs oppgaven her

Oppgave 5 (5 poeng) Nettkode: E-4PC4

Vi har gitt differensialligningen

y4y5y=0

a)

Vis at y=erx er en løsning til differensiallikningen når r24r5=0.

Løs oppgaven her

b)

Bestem den generelle løsningen til differensialligningen.

Løs oppgaven her

c)

Bestem den spesielle løsningen som tilfredsstiller betingelsene y(0)=6 og y(0)=0.

Løs oppgaven her

Oppgave 6 (5 poeng) Nettkode: E-4PC8

Brøken Bn er definert ved at telleren er summen av de n første oddetallene, mens nevneren er summen av de n neste oddetallene.

a)

Regn ut B2=1+35+7, B3=1+3+57+9+11 og B4=1+3+5+79+11+13+15.

Forkort svarene.

Løs oppgaven her

b)

Vis at summen av de n første oddetallene kan skrives Sn=n2.

Løs oppgaven her

c)

Forklar at Bn=SnS2nSn. Regn ut denne brøken.

Løs oppgaven her

Oppgave 7 (7 poeng) Nettkode: E-4PCC

Ligningen til en kuleflate er gitt ved

x22x+y2+2y+z26z=14

a)

Vis at punktet A(4,3,3) ligger på kuleflaten.

Løs oppgaven her

b)

Vis at kulen har sentrum i S(1,1,3). Bestem radien til kulen.

Løs oppgaven her

c)

Bestem ligningen for tangentplanet α til kuleflaten i punktet A.

Løs oppgaven her

d)

Et annet plan β går gjennom S og B(1,0,1) og står normalt på α.
Bestem ligningen til β.

Løs oppgaven her

DEL 2 med hjelpemidler

Oppgave 1 (5 poeng) Nettkode: E-4PCH

 Illustrasjonsbilde.

Ved inngangen til 2015 var folketallet i Norge 5200000. I en modell for befolkningsveksten antar vi at

- netto innvandring per år vil være 44000

- antall som blir født per år, vil være 1,1% av folketallet

- antall som dør per år, vil være 0,8% av folketallet

 

Vi lar folketallet være y(t), der t er antall år etter 2015.

a)

Forklar at vi kan skrive

y=0,003y+44000,y(0)=5200000

Løs oppgaven her

b)

Løs differensialligningen.

Løs oppgaven her

c)

Når vil folketallet passere 7 millioner ifølge denne modellen?
Hvor stor er vekstfarten i folketallet da?

Løs oppgaven her

Oppgave 2 (8 poeng) Nettkode: E-4PDI

Funksjonen f er gitt ved

f(x)=x2x4

a)

Bruk graftegner til å tegne grafen til f.

Løs oppgaven her

b)

Bruk CAS til å bestemme de eksakte koordinatene til toppunktene på grafen til f.

Løs oppgaven her

c)

Bestem det samlede arealet av områdene som er avgrenset av grafen til f og x-aksen.

Løs oppgaven her

d)

Grafen til f roteres 360 om x-aksen. Bestem volumet av omdreiningslegemet som da framkommer.

Løs oppgaven her

Oppgave 3 (7 poeng) Nettkode: E-4PDW

To plan α og β er gitt ved

α:xy3=0

β:x+pz4=0,p

a)

Vis at punktet (4,1,0) ligger i begge planene.

Løs oppgaven her

b)

Bestem p slik at vinkelen mellom α og β blir 60.

Løs oppgaven her

c)

Hvilken verdi for p vil gi den minste vinkelen mellom α og β? Hvor stor er vinkelen?

Løs oppgaven her

d)

De to planene skjærer hverandre langs en linje . Bestem en parameterframstilling for uttrykt ved p.

Løs oppgaven her

Oppgave 4 (4 poeng) Nettkode: E-4PE0

Om en uendelig geometrisk rekke vet vi at

- summen er 8

- summen av de tre første leddene er 7

a)

Sett opp et ligningssystem som uttrykker opplysningene ovenfor.


Løs oppgaven her

b)

Bruk CAS til å bestemme kvotienten k og det første leddet a1 i rekken.

Løs oppgaven her