www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Kjerneregelen - tre eksempler

Kjerneregelen er egentlig ikke så komplisert å bruke, men det kan kreve litt trening. Under finner du tre eksempler på bruk av kjerneregelen.

Eksempel 1

Oppgave. Finn f'x når f(x)=sin(2x21) .

Løsning.

1. Den eneste naturlige kjernen her er det som står inni parentesen, nemlig u=2x21. Da får vi den ytre funksjonen gu=sinu .
2. Vi deriverer kjernen og den ytre funksjonen hver for seg:

u'x=2x2-1'=4x

g'u=sinu'=cosu

3. Til slutt ganger vi de to deriverte sammen og setter inn for u:

f'x=u'xg'u=4xcosu=4cos2x2-1__



Eksempel 2

Oppgave. La fx=x2+cosx3. Finn f'(x).

Løsning.

1. Vi velger uttrykket i parentes som kjerne: x2+cosx=u. Da får vi at den ytre funksjonen er gu=u3.

2. Vi deriverer kjernen og den ytre funksjonen hver for seg:

 u'x=x2+cosx'=2x-sinx

g'u=u3'=3u2

3. Til slutt ganger vi de to deriverte sammen og setter inn for u:

f'x=u'xg'u=2x-sinx3u2= 2x-sinx3x2+cosx2__


Eksempel 3

Oppgave. La fx=xx. Finn f'x.

Løsning.

1. Her bruker vi et lite triks for å finne den indre og ytre funksjonen. Vi bruker at x=elnx, da blir

fx=elnxx=exlnx        

(her har vi brukt at hvis vi opphøyer en potens i en potens, kan vi multiplisere eksponentene eab=eab).

Vi ser nå at vi kan bruke kjernen xlnx=u . Da får vi at den ytre funksjonen er gu=eu.

2. Vi deriverer kjernen og den ytre funksjonen hver for seg:

u'x=xlnx'=x' lnx+xlnx'=xlnx+xx=xlnx+1

g'u=eu'=eu

3. Til slutt ganger vi de to deriverte sammen og setter inn for u:

 f'x=u'xg'u=lnx+1eu=lnx+1exlnx=lnx+1xx__

 

 

Publisert: 05.08.2013 Endret: 08.12.2014