www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Separable differensiallikninger

Separable differensiallikninger er likninger på formen dydx=f(x)g(y) hvor y=y(x).

Funksjonen g i likningen er en funksjon av variabelen y, som igjen er en funksjon av variabelen x. Da er g en funksjon på formen g=g(y(x)). Dere kjenner kanskje igjen denne situasjonen fra Kjerneregelen, dgdx=dgdydydx eller, med annen notasjon, G(x)=g(y(x))y(x). for G(x)=g(y(x)).

 

Generell løsningsmetode

Vi kan skrive likningen  dydx=f(x)g(y) som 1g(y)dydx=f(x). Vi integrerer begge sider og får 1g(y)dydxdx=f(x)dx. Vi substituerer på venstresiden med at 1g(y)y(x)dx=1g(y)dy. Da står vi igjen med likheten 1g(y)dy=f(x)dx.

Eksempel 1

Vi løser likningen dydx=xy2.

Med notasjonen ovenfor er f(x)=x og g(y)=1y2. Vi skriver om likningen og får y2dydx=x. Vi integrerer begge sider og substituerer på venstresiden slik at y2dy=xdx. Vi får at 13y3=12x2+C1. (Her har vi lagt sammen de to integrasjonskonstantene.) Multiplikasjon med tre gir y3=32x2+C2. Tar vi tredjerøtter får vi at y=32x2+C23=323x2+C3.

Eksempel 2

En forbukerøkonom skriver en artikkel om hvordan prisen av smågodt varierer i løpet av et år. Hun merker at endringen i prisen kan tilnærmet beskrives med funksjonen dpdt=p6cos(π6t) hvor p(t) er prisen per hekto ved tid t, og t er tid i måneder. Her er t i intervallet [0,12). Vi vet at prisen i begynnelsen av januar er tretten kroner, og vi ønsker å finne prisen ved begynnelsen av august.

Vi løser den separable differensiallikningen. Vi multipliserer med 6p og integrerer begge sider: 6pdpdtdt=6pdp=cos(π6t)dt. Vi løser begge integralene og får at 6ln|p|=6πsin(π6t)+C1. Vi dividerer med seks for å få ln|p|=1πsin(π6t)+C2. Prisen til godteriet kan ikke være negativ, så vi dropper absoluttverdien: lnp=1πsin(π6t)+C2. Da får vi at p=elnp=e1πsin(π6t)+C2=Ce1πsin(π6t) hvor C er konstanten C=eC2. Vi vet at prisen i begynnelsen av januar er tretten kroner. Dermed er p(0)=C=13 da sin(0)=0 og e0=1. Dermed er p(t) gitt ved p(t)=13e1πsin(π6t). For å finne prisen ved starten av august må vi finne p(7): p(7)=13e1πsin(7π6)11,09.

Svar: Dermed er prisen omtrent 11 kroner i begynnelsen av august.

Eksempel 3

Finn den generelle løsningen av differensiallikningen

 yy'=sinx, 


som tilfredsstiller initialbetingelsen yπ2=-1.

Løsning. Her gjenkjenner vi lett at likningen er separabel siden variablene allerede er separert på hver sin side av likhetstegnet. Som beskrevet over integrerer vi derfor begge sider, og bruker at y' dx= dy. Da får vi:

y dy = sinx dx  
12y2 = cosx+C  
y2 = 2(cosx+C)=C12cosx (der C1=2C)
y = πC12cosx  

 

Dette er den generelle løsningen. Det gjenstår å avgjøre om vi skal ha pluss eller minus foran rottegnet, og verdien av konstanten C1. Initialbetingelsen sier at y=1 når x=π2. Siden cos(π2)=0 gir dette at

1 = πC12cos(π2)
1 = πC1

 

Vi ser at vi er nødt til å velge minustegnet, og sette C1=1.

Svar: y=12cosx

 

Eksempel 4

Vi skal nå se en likning hvor kunnskap om separable differensiallikninger kan være nyttig, en integrallikning: y(x)=5+π2xt2y(t)dt Denne likningen er mindre skummel enn den kanskje først ser ut: vi kan derivere begge sider: dydx=πddx2xt2y(t)dt. Vi må forstå hva som egentlig står på venstresiden: uttrykket 2xt2y(t)dt er en funksjon som avhenger av variabelen x. Anta at F(t) er en antiderivert av t2y(t). Da er 2xt2y(t)=F(x)F(2). Om vi deriverer dette uttrykket med hensyn til x, kommer konstanten F(2) til å gå bort. Da står vi igjen med ddxF(x)=x2y(x), da F(x) er en antiderivert av x2y(x). Vi har vist at dydx=πx2y. Denne likningen er separabel: vi multipliserer med 1y og integrerer begge sider: 1ydydxdx=1ydy=πx2dx. Da har vi at ln|y|=π3x3+C1 og vi får løsningen y=Ceπ3x3. Merk at likningen kommer med en initialverdi siden vi vet at integralet 22t2y(t)dt=0. Dermed er y(2)=5, så 5=Ce8π3 og vi løser for C=5e8π3. Da har vi funnet den entydige løsningen y=5e8π3eπ3x3=5eπ3(x38).

Svar: y=5e8π3eπ3x3=5eπ3(x38).

 

 y=32x2+C23=323x2+C3. 
Publisert: 18.07.2016 Endret: 31.08.2016