Separable differensiallikninger er likninger på formen $$\frac{dy}{dx}=f\left(x\right)g\left(y\right)$$ hvor $y=y\left(x\right)$.

Funksjonen $g$ i likningen er en funksjon av variabelen $y$, som igjen er en funksjon av variabelen $x$. Da er $g$ en funksjon på formen $g=g\left(y\right(x\left)\right)$. Dere kjenner kanskje igjen denne situasjonen fra Kjerneregelen, $$\frac{dg}{dx}=\frac{dg}{dy}\frac{dy}{dx}$$ eller, med annen notasjon, $$G\prime \left(x\right)=g\prime \left(y\right(x\left)\right)y\prime \left(x\right).$$ for $G\left(x\right)=g\left(y\right(x\left)\right).$

Generell løsningsmetode

Vi kan skrive likningen  $$\frac{dy}{dx}=f\left(x\right)g\left(y\right)$$ som $$\frac{1}{g\left(y\right)}\frac{dy}{dx}=f\left(x\right).$$ Vi integrerer begge sider og får $$\int \frac{1}{g\left(y\right)}\frac{dy}{dx}dx=\int f\left(x\right)dx.$$ Vi substituerer på venstresiden med at $$\int \frac{1}{g\left(y\right)}y\prime \left(x\right)dx=\int \frac{1}{g\left(y\right)}dy.$$ Da står vi igjen med likheten $$\int \frac{1}{g\left(y\right)}dy=\int f\left(x\right)dx.$$

Eksempel 1

Vi løser likningen $$\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y^2}.$$

Med notasjonen ovenfor er $f\left(x\right)=x$ og $g\left(y\right)=\frac{1}{y^2}$. Vi skriver om likningen og får $$y^2\frac{dy}{dx}=x.$$ Vi integrerer begge sider og substituerer på venstresiden slik at $\int y^{2}dy=\int xdx.$ Vi får at $$\frac{1}{3}{y}^3=\frac{1}{2}{x}^2+C_1.$$ (Her har vi lagt sammen de to integrasjonskonstantene.) Multiplikasjon med tre gir $$y^3=\frac{3}{2}{x}^2+C_2.$$ Tar vi tredjerøtter får vi at $$y=\sqrt[3]{\frac{3}{2}{x}^2+C_2}=\sqrt[3]{\frac{3}{2}}\sqrt[3]{x^2+C}.$$

Eksempel 2

En forbukerøkonom skriver en artikkel om hvordan prisen av smågodt varierer i løpet av et år. Hun merker at endringen i prisen kan tilnærmet beskrives med funksjonen $$\frac{dp}{dt}=\frac{p}{6}\cos \left(\frac{\pi }{6}t\right)$$ hvor $p\left(t\right)$ er prisen per hekto ved tid $t$, og $t$ er tid i måneder. Her er $t$ i intervallet $[0,12)$. Vi vet at prisen i begynnelsen av januar er tretten kroner, og vi ønsker å finne prisen ved begynnelsen av august.

Vi løser den separable differensiallikningen. Vi multipliserer med $\frac{6}{p}$ og integrerer begge sider: $$\int \frac{6}{p}\frac{dp}{dt}dt=\int \frac{6}{p}dp=\int \cos \left(\frac{\pi }{6}t\right)dt.$$ Vi løser begge integralene og får at $$6\ln \left|p\right|=\frac{6}{\pi }\sin \left(\frac{\pi }{6}t\right)+C_1.$$ Vi dividerer med seks for å få $$\ln \left|p\right|=\frac{1}{\pi }\sin \left(\frac{\pi }{6}t\right)+C_2.$$ Prisen til godteriet kan ikke være negativ, så vi dropper absoluttverdien: $$\ln p=\frac{1}{\pi }\sin \left(\frac{\pi }{6}t\right)+C_2.$$ Da får vi at $$p=e^{\ln p}=e^{\frac{1}{\pi }\sin \left(\frac{\pi }{6}t\right)+C_2}=C{e}^{\frac{1}{\pi }\sin \left(\frac{\pi }{6}t\right)}$$ hvor $C$ er konstanten $C=e^{C_2}$. Vi vet at prisen i begynnelsen av januar er tretten kroner. Dermed er $$p\left(0\right)=C=13$$ da $\sin \left(0\right)=0$ og $e^0=1$. Dermed er $p\left(t\right)$ gitt ved $$p\left(t\right)=13e^{\frac{1}{\pi }\sin \left(\frac{\pi }{6}t\right)}.$$ For å finne prisen ved starten av august må vi finne $p\left(7\right)$: $$p\left(7\right)=13e^{\frac{1}{\pi }\sin \left(\frac{7\pi }{6}\right)}\approx 11,09.$$

Eksempel 3

Finn den generelle løsningen av differensiallikningen

som tilfredsstiller initialbetingelsen $y\left(\frac{\pi }{2}\right)=-1.$

Løsning. Her gjenkjenner vi lett at likningen er separabel siden variablene allerede er separert på hver sin side av likhetstegnet. Som beskrevet over integrerer vi derfor begge sider, og bruker at $y^{\text{'}} dx= dy$. Da får vi:

Dette er den generelle løsningen. Det gjenstår å avgjøre om vi skal ha pluss eller minus foran rottegnet, og verdien av konstanten $C_1$. Initialbetingelsen sier at $y=-1$ når $x=\frac{\pi }{2}$. Siden $\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=0$ gir dette at

Vi ser at vi er nødt til å velge minustegnet, og sette $C_1=1$.

Eksempel 4

Vi skal nå se en likning hvor kunnskap om separable differensiallikninger kan være nyttig, en integrallikning: $$y\left(x\right)=5+\pi {\int }_2^x{t}^{2}y\left(t\right)dt$$ Denne likningen er mindre skummel enn den kanskje først ser ut: vi kan derivere begge sider: $$\frac{dy}{dx}=\pi \frac{d}{dx}{\int }_2^x{t}^{2}y\left(t\right)dt.$$ Vi må forstå hva som egentlig står på venstresiden: uttrykket $${\int }_2^x{t}^{2}y\left(t\right)dt$$ er en funksjon som avhenger av variabelen $x$. Anta at $F\left(t\right)$ er en antiderivert av $t^{2}y\left(t\right)$. Da er $${\int }_2^x{t}^{2}y\left(t\right)=F\left(x\right)-F\left(2\right).$$ Om vi deriverer dette uttrykket med hensyn til $x$, kommer konstanten $F\left(2\right)$ til å gå bort. Da står vi igjen med $$\frac{d}{dx}F\left(x\right)=x^{2}y\left(x\right),$$ da $F\left(x\right)$ er en antiderivert av $x^{2}y\left(x\right)$. Vi har vist at $$\frac{dy}{dx}=\pi x^{2}y.$$ Denne likningen er separabel: vi multipliserer med $\frac{1}{y}$ og integrerer begge sider: $$\int \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}dx=\int \frac{1}{y}dy=\pi \int x^{2}dx.$$ Da har vi at $$\ln \left|y\right|=\frac{\pi }{3}{x}^3+C_1$$ og vi får løsningen $$y=C{e}^{\frac{\pi }{3}{x}^3}.$$ Merk at likningen kommer med en initialverdi siden vi vet at integralet $${\int }_2^2{t}^{2}y\left(t\right)dt=0.$$ Dermed er $y\left(2\right)=5$, så $$5=C{e}^{\frac{8\pi }{3}}$$ og vi løser for $C=5e^{-\frac{8\pi }{3}}$. Da har vi funnet den entydige løsningen $$y=5e^{-\frac{8\pi }{3}}{e}^{\frac{\pi }{3}{x}^3}=5e^{\frac{\pi }{3}(x^3-8)}.$$