www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Periodiske funksjoner

Trigonometriske funksjoner er periodiske funksjoner.

Hvordan oppfører trigonometriske funksjonene seg? Funksjonene sinx og cosx har en veldig viktig egenskap: de er periodiske.

Definisjon

En funksjon f(x) er periodisk med periode a om f(x)=f(x+a) for alle x.

Vi ser at sinx og cosx har denne egenskapen med a=2π. Når vi jobber med trigonometriske funksjoner kan vi gjøre en hel del funksjonsdrøfting uten å bruke derivasjon, fordi vi allerede vet hvordan topp og bunnpunktene oppfører seg.

Eksempel 1

Vi drøfter funksjonen f(x)=4sinx+2. For å finne nullpunktene må vi løse likningen 4sinx+2=0. Dette kan vi skrive om til sinx=12 som gir løsningen x=π6. Vi velger vinkelen i første omløp og bruker løsningen x=11π6. Symmetrien om y-aksen gir i tillegg x=7π6 som en løsning. Den generelle løsningen er x=7π6+2πn og x=11π6+2πn.

Dette er alle nullpunktene til funksjonen. Topp og bunnpunkter kommer når sinx tar sin største og minste verdi. Vi vet at sinx=1 når x=π2+2πn, og sinx=1 når x=3π2+2πn. I disse tilfellene har funksjonen verdiene 6 og 2.

Vi gir nå noen grunnleggende definisjoner ved hjelp av et eksempel. Under har vi tegnet funksjonen til f(x)=3sin(2(x1))+4. 

Funksjonen vil svinge rundt likevekstlinjen y=4. Den største verdien til funksjonen er 31+4=7, mens den minste verdien er 3(1)+4=1. Avstanden fra topp- og bunnpunktene til likevektslinjen y=4 er lik 3. Denne avstanden kaller vi amplituden.

Om vi har lyst til å finne perioden til funksjonen f(x), må vi bruke at funksjonen sinus er periodisk med periode 2π. Vi vet at 3sin(2(x1)+2π)+4=3sin(2(x+π1))+4=3sin(2(x1))+4. Merk at på venstresiden står det f(x+π), mens på høyresiden står det f(x). Dermed har f periode π, eller 2π2. Det siste er uttrykket (x1). Punktet (1,4) er et skjæringspunkt med grafen og likevektslinjen. Merk at f(1)=3sin0+4=4.


Egenskaper til funksjonen

f(x)=asin(k(xc))+d

Likevektslinjen vil være linjen y=d. Toppunktene vil ha y-koordinat a+d, mens bunnpunktene vil ha y-koordinat a+d. Avstanden fra disse til likevektslinjen y=d er |a|, amplituden til funksjonen. For å finne perioden bruker vi at sinx=sin(x+2π), slik at asin(k(xc))+d=asin(k(xc)+2π)+d. På venstresiden står f(x). Vi kan skrive om uttrykket på høyresiden:

asin(k(xc)+2π)+d=asin(kx+2πkc)+d

=asin(k(x+2πk+c))+d=f(x+2πk).

Dermed er f(x) periodisk med periode 2πk. Siden f(c)=asin0+d=d vil f skjære likevektslinjen i punktet (c,d).

Eksempel 2

La oss se på funksjonen cos. Om jeg tegner funksjonen f(x)=3cos(2(x1))+4 får vi følgende bilde:

Vi ser at likevektslinjen y=4 er den samme som med sinusfunksjonen. Det samme gjelder amplituden 3 og perioden π. Uttrykket (x1) representerer nå noe annet: nå er f(1)=3cos0+4=7. Dette ligger ikke på likevektslinjen y=4, men er et toppunkt for funksjonen.


Egenskaper til funksjonen

f(x)=acos(k(xc))+d

Som tidligere vil funksjonen ha amplitude |a|, periode 2πk og likevektslinje y=d. Forskjellen er at f(c) vil være et topp eller bunnpunkt for funksjonen. Det er et toppunkt om a>0 mens den er et bunnpunkt om a<0.

f(x)=acos(k(xc))+d

Eksempel 3

En idrettsutøver lager en treningsplan for et helt år. Hun deler inn årets 52 uker inn i fire perioder på 13 uker hver. Alle periodene skal være like. Hun vil ha et snitt på omtrent ti timer trening hver uke, og vil trene maks 17 timer på en uke og minst 3 timer. Grunnet konkurranser er det viktig at hun trener 17 timer i femte uke. Vi blir bedt om å lage en funksjon som kan modellere hvor mye hun skal trene hver uke.

Siden hun har delt inn året i perioder på 13 uker, og vi vil at periodene skal være like, må funksjonen vår være periodisk med periode 13. Da passer det fint å bruke et cosinusuttrykk: f(x)=acos(k(xc))+d. Vi vet at perioden til funksjonen er 2πk. Vi vil at 2πk=13, dermed må k=2π13. Siden snittet skal være omtrent ti timer per uke, velger vi y=10 som likevektslinjen. Da er d=10. Siden det skal trenes maks 17 timer og minst 3 timer, kan vi velge amplituden a=7. Siden hun vil trene 17 timer i den femte uken, sørger vi for at vi får et toppunkt når x=5. Det kan vi gjøre ved å velge c=5. Da ender vi opp med funksjonen f(x)=7cos(2π13(x5))+10.

Publisert: 06.07.2016 Endret: 06.07.2016