Likning til et plan
Vi skal nå utrede en likning for et plan i rommet.
En likning for et plan i rommmet finner vi ved å finne en normalvektor til planet, altså en vektor som står vinkelrett på planet. Om vi kjenner en normalvektor og et punkt på planet, kan vi avgjøre om et vilkårlig punkt i rommet ligger på planet eller ikke.
teorem
La være en normalvektor og være et punkt på planet. Et vilkårlig punkt i rommet ligger på planet hvis og bare hvis står normalt på vektoren . Da må prikkproduktet mellom vektorene lik null: og dermed følger det at en likning for planet er
Finn likningen for planet når normalvektoren er gitt
Eksempel 1
Vi er gitt et plan som går gjennom punktet og har normalvektor . Vi bruker teoremet over til å finne en likning til planet:
Det er ikke alltid vi kjenner en normalvektor til planet fra starten av. Heldigvis kan vi alltid finne en normalvektor ved hjelp av annen informasjon. Hvis vi kjenner tre punkter på planet som ikke ligger på en rett linje, kan vi alltid konstruere en normalvektor. Om punktene og ligger på planet, og de ikke ligger på en rett linje, står vektoren normalt på vektorene og , og dermed på planet!
Eksempel 2
Punktene , og ligger på et plan. Vi ønsker å finne en normalvektor til planet, og bruke dette til å finne en likning til planet. Vi ser på vektorene og . Vi regner nå ut : hvor , og . Da får vi Siden kan vi velge normalvektoren . Vi kan bruke teoremet ovenfor til å finne en likning for planet. Vi vet at planet går gjennom punktet . Dermed er en likning for planet gitt ved
Finn normalvektoren når likningen for planet er gitt
La oss se på det motsatte problemet: vi er gitt en likning for et plan, og vi ønsker å finne en normalvektor. En likning på formen gir oss et plan i rommet gitt at minst et av tallene ikke er null. La og være to vilkårlige punkt på planet. Det vil si at og Vi kan se på vektoren . Velger vi vektoren , får vi at Vi skriver dette om til Dermed er er normalvektor til planet.
Eksempel 3
Et plan med likning er gitt. Vi kan finne en normalvektor, nemlig .
Del på Facebook