Aritmetiske rekker

La oss se på hva en aritmetisk rekke er og hvordan vi bruker disse.

MatRIC: Aritmetiske rekker

Rettighetshaver: MatRIC ved Universitetet i Agder / MatRIC

Dette er et av temaene hvor det er nærmest obligatorisk å starte med en anekdote, som ingen vet om er sann eller ei. Den tyske matematikeren Carl Friedrich Gauss (1777−1855) ble, sammen med resten av klassen, bedt om å summere alle tallene fra 1 til 100. Læreren, i god tro om at han nå skulle få slappe av en stund, ﬁkk seg en overraskelse da den unge Gauss kom med svaret etter et snaut minutt: 5050. Gauss hadde merket følgende: 1+100=101, 2+99=101 og så videre. Om vi fortsetter til 100+1=101 og legger alle disse tallene sammen, får vi 100⋅101=10100. Vi merker at i denne summen har vi brukt hvert ledd to ganger, så svaret blir dermed

$10100 : 2 = 5050 .$

Dette er hovedideen i beviset for formelen til en endelig aritmetisk rekke.

DEFINISJON

En aritmetisk rekke er en rekke hvor leddene er en aritmetisk følge.

Eksempel 1

2+4+6+8+10+… er en aritmetisk rekke.

Vi skriver $s_{n}$ for summen av de $n$ første leddene i rekken, for eksempel

$s_{3} = 2 + 4 + 6 .$

$s_{7}$ kan vi vinne ved å anvende trikset til Gauss: vi ﬁnner først det syvende leddet i den aritmetiske følgen: $a_{7} = a_{1} + (n - 1) \cdot d = 2 + 6 \cdot 2 = 14 .$ Vi merker at $2 + 14 = 16 4 + 2 = 16, . . ., 14 + 2 = 16 .$ Svaret blir dermed

$s_{7} = (7 \cdot 16) : 2 = 56 .$

TEOREM

Gitt en aritmetisk rekke $a_{1} + a_{2} + . . .$ , så er $s_{n}$ gitt ved $s_{n} = \frac{n \cdot (a_{1} + a_{n})}{2} .$

Bevis

Vi skriver

$s_{n} = a_{1} + . . . + a_{n} .$

Fordi faktorenes orden er likegyldig kan vi like godt skrive

$s_{n} = a_{n} + . . . + a_{1} .$

Dermed er

$2 s_{n} = (a_{1} + a_{n}) + (a_{2} + a_{n - 1}) + . . . + (a_{n} + a_{1}) .$

Vi merker at

$\begin{matrix} a_{i} + a_{n - i + 1} & = & a_{1} + (i - 1) \cdot d + a_{1} + (n - i) \cdot d \\ = & a_{1} + a_{1} + d \cdot (n - 1) \\ = & a_{1} + a_{n} \end{matrix}$

(Her har vi brukt formelen for en aritmetisk tallfølge to ganger!) Dermed blir summen vår

$2 s_{n} = n \cdot (a_{1} + a_{n})$

og divisjon med 2 gir det ønskede resultatet.

Eksempel 2

I en aritmetisk tallfølge er $a_{4} = 87 og d = 18 .$ Finn en formel for $a_{n} og s_{n} .$ .

Vi ﬁnner først $a_{1}$ ved hjelp av formelen for $a_{n}$ : $a_{4} = 87 = a_{1} + 3 \cdot 18 .$

Vi løser likningen med hensyn på $a_{1}$ og får at $a_{1} = 33 .$ Dermed anvender vi formelen igjen og får at

$a_{n} = 33 + (n - 1) \cdot 18 = 18 n + 15 .$

Nå kan vi anvende formelen for $s_{n}$ :

$s_{n} = \frac{n \cdot (33 + 18 n + 15)}{2} = 9 n^{2} + 24 n .$

Eksempel 3

Nils har kjøpt nytt Pokémon-spill. Målet er å fange alle Pokémon i sommerferien. Til sin overraskelse ﬁnner han at antall Pokémon har økt fra 151 til 649, men er fortsatt fast bestemt å nå målet. Hans plan er å fange femten Pokémon den første uken, for deretter å øke fangsten med $d$ Pokémon hver uke. Finn den minste verdien av $d$ som gjør at Nils klarer å fange samtlige 649 Pokémon på åtte uker.

Antall Pokémon som Nils har fanget etter $n$ uker er verdien av den aritmetiske rekken

$s_{n} = 15 + (15 + d) + (15 + 2 d) + . . . + (15 + (n - 1) d) .$

Vi har at

$a_{8} = a_{1} + (15 + (8 - 1) \cdot d) = 15 + 15 + 7 d = 30 + 7 d .$

Dermed er

$s_{8} = \frac{8 (30 + 7 d)}{2} = \frac{240 + 56 d}{2} = 120 + 28 d .$

Vi løser likningen $120 + 28 d = 649$ og får at $d \approx 18, 89 .$ Dermed er $d = 19$ den minste verdien for $d$ .

Aritmetiske rekker

Eksempel 1

Bevis

Eksempel 2

Eksempel 3

Lynkurs 11.-13.trinn

Følger og rekker

Består av: