www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Derivasjon av sammensatte uttrykk

Mange blir skremt når de får et derivasjonsstykke som ser stygt og komplisert ut. Det er vanskelig å vite hvordan man skal begynne. Men fortvil ikke, derivasjon er nemlig ganske mekanisk, så det gjelder bare å holde tunga rett i munnen og klare å vite hvor man skal begynne angrepet.

Eksempel 1

Oppgave. Finn den deriverte av

fx=x254cos2x.

Løsning.

1. Vi ser at 54 er en konstant

Faktor

Når tall multipliseres, kalles tallene faktorer. Resultatet kalles et produkt. Eksempel: 5 · 3 = 15. 5 og 3 er faktorer. Tallet 15 er produktet, og vi kan si at produktet består av faktorene 5 og 3.

faktor
og vi kan derfor bruke regel 12 fra artikkelen om derivasjonsregler: ku'=ku' der k er en konstant og u en funksjon av x. Vi trekker ut faktoren slik:  x254cos2x'=54x2cos2x', og fokuserer videre på å derivere x2cos2x.

2. Her gjenkjenner vi at vi har to utrykk, x2 og cos2x som er multiplisert sammen. Vi kan da bruke regel 15 for derivasjon av et produkt: st'=s't+st', der u og v er funksjoner av x.

La s=x2 og t=cos2x.

Vi må finne s' og t', og så kan vi sette det hele sammen ved regelen for derivasjon av et produkt.

Først bruker vi regelen for derivasjon av potenser på s og får

s'=2x.

For å derivere t=cos2x, må vi bruke kjerneregelen. Vi må finne en kjerne ux slik at v=gux. Vi velger oss ux=2x som kjerne og gu=cosu som ytre funksjon.

Vi har

u'x=2x'=2,  

g'u=cosu'=-sinu

Så vi får

t'=g'uu'x=-sinu2=-2sin2x.

3. Nå har vi funnet s' og t' og kan derivere utrykket fra punkt 2:

st'=s't+st'=2xcos2x+x2-2cos2x=2xcos2x-2x2sin2x.

4. Nå er vi klare til å derivere hele utrykket.

 fx=x254cos2x,

 f'x=542xcos2x-2x2sin2x=5x2cos2x-xsin2x.

Det vi nå har gjort er å starte ytterst, finne «delene» i utrykket, i dette tilfellet først en konstant faktor, så et produkt. Vi deriverte så delene hver for seg og satte dem sammen til slutt. Dette blir lettere og lettere jo flere ganger man gjør det.

 

Eksempel 2

Oppgave. Finn den deriverte av

fx=sin3x+2e2x25x.

Løsning. Vi trekker først ut den konstante faktoren 12 og får:

fx=12sin3x+2e2x5x.

Siden 12 er en konstant faktor, kan vi la den stå og derivere resten av utrykket, på samme måte som i eksempel 1.

Vi gjenkjenner at det vi skal derivere nå er et brøkutrykk, altså en kvotient, uv, der u=sin3x+2e2x og v=5x.

For brøksutrykk/kvotienter har vi regelen

            uv'=u'v-uv'v2.

Vi vil derfor finne den deriverte av u og v.

Vi begynner med u=sin3x+2e2x. Her har vi et produkt av sin3x+2 og e2x, så vi vil bruke produktregelen for å finne u'. Vi bruker kjerneregelen på hver av faktorene.

For sin3x+2 er kjernen 3x+2 og vi får sin3x+2'=3cos3x+2. For e2x er kjernen 2x og vi får e2x'=2e2x. Nå kan vi bruke produktregelen for derivasjon:

            u'=sin3x+2e2x

            =3cos3x+2e2x+sin3x+22e2x

            =e2x3cos3x+2+2sin3x+2.

 For v=5xbruker vi regelen for derivasjon av eksponentialfunksjoner og finner:

v'=5x'=ln55x.

Til sammen har vi

            f'x=12uv'=12u'v-uv'v2

            =12e2x3cos3x+2+2sin3x+25x-sin3x+2e2xln55x5x2

            =12e2x5x3cos3x+2+2sin3x+2-ln5sin3x+252x   

            =12e2x3cos3x+2+2sin3x+2-ln5sin3x+25x.    

Publisert: 19.01.2014 Endret: 27.02.2017