Kjerneregelen - tre eksempler

Eksempel 1

Oppgave. Finn $f\text{'}\left(x\right)$ når $f\left(x\right)=\sin \hspace{0.17em}(2x^2-1)$ .

Løsning.

1. Den eneste naturlige kjernen her er det som står inni parentesen, nemlig $u=2x^2-1$. Da får vi den ytre funksjonen $g\left(u\right)=\sin \left(u\right)$ .
2. Vi deriverer kjernen og den ytre funksjonen hver for seg:

$u\text{'}\left(x\right)=\left[2x^2-1\right]\text{'}=4x$

$g\text{'}\left(u\right)=\left[\sin \left(u\right)\right]\text{'}=\cos \left(u\right)$

3. Til slutt ganger vi de to deriverte sammen og setter inn for $u$:

$f\text{'}\left(x\right)=u\text{'}\left(x\right)\cdot g\text{'}\left(u\right)=4x\cdot \cos \left(u\right)=\underset{\_}{\underset{\_}{4x\cos \left(2x^2-1\right)}}$

Eksempel 2

Oppgave. La $f\left(x\right)={\left(x^2+\cos \left(x\right)\right)}^3$. Finn $f\text{'}\left(x\right)$.

Løsning.

1. Vi velger uttrykket i parentes som kjerne: $\left(x^2+\cos \left(x\right)\right)=u$. Da får vi at den ytre funksjonen er $g\left(u\right)=u^3$.

2. Vi deriverer kjernen og den ytre funksjonen hver for seg:

 $u\text{'}\left(x\right)=\left[x^2+\cos \left(x\right)\right]\text{'}=2x-\sin \left(x\right)$

$g\text{'}\left(u\right)=\left[u^3\right]\text{'}=3u^2$

3. Til slutt ganger vi de to deriverte sammen og setter inn for $u$:

$f\text{'}\left(x\right)=u\text{'}\left(x\right)\cdot g\text{'}\left(u\right)=\left(2x-\sin \left(x\right)\right)\cdot 3u^2=\underset{\_}{\underset{\_}{ \left(2x-\sin \left(x\right)\right)\cdot 3{\left(x^2+\cos \left(x\right)\right)}^2}}$

Eksempel 3

Oppgave. La $f\left(x\right)=x^x$. Finn $f\text{'}\left(x\right)$.

Løsning.

1. Her bruker vi et lite triks for å finne den indre og ytre funksjonen. Vi bruker at $x=e^{\ln x}$, da blir

$f\left(x\right)={\left(e^{\ln x}\right)}^x=e^{x\cdot \ln x}$        

(her har vi brukt at hvis vi opphøyer en potens i en potens, kan vi multiplisere eksponentene ${\left(e^a\right)}^b=e^{ab}$).

Vi ser nå at vi kan bruke kjernen $x\cdot \ln x=u$ . Da får vi at den ytre funksjonen er $g\left(u\right)=e^u$.

2. Vi deriverer kjernen og den ytre funksjonen hver for seg:

$u\text{'}\left(x\right)=\left[x\cdot \ln x\right]\text{'}=\left[x\right]\text{'} \ln x+x\cdot \left[\ln x\right]\text{'}=x\cdot \ln x+\frac{x}{x}=x\cdot \ln x+1$

$g\text{'}\left(u\right)=\left[e^u\right]\text{'}=e^u$

3. Til slutt ganger vi de to deriverte sammen og setter inn for $u$:

 $f\text{'}\left(x\right)=u\text{'}\left(x\right)\cdot g\text{'}\left(u\right)=\left(\ln x+1\right)\cdot e^u=\left(\ln x+1\right)\cdot e^{x\cdot \ln x}=\underset{\_}{\underset{\_}{\left(\ln x+1\right)\cdot x^x}}$