www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Eksponentiallikninger

Hva er en eksponentiallikning?

Maria setter inn 100 000 på konto med 3% i rente. Det vil si at for hvert år som går har Maria 1,03 ganger det hun hadde året før. Hvor lang tid tar det før Maria har 200 000

Etter første året har Maria 100 0001,03 kroner på konto.

Etter det andre året har hun 100 0001,031,03=100 0001,032 .

Etter det tredje året har hun 100 0001,0321,03=100 0001,033.

Etter det fjerde året har hun 100 0001,0331,03=100 0001,034.

Slik fortsetter det. Generelt har Maria etter x år 100 0001,03x  kroner på konto. Maria har 200 000 kr på kontoen når 100 0001,03x=200 000. Dette er en eksponentiallikning, fordi den ukjente x er i eksponenten.

 

Eksponentallikning

En eksponentiallikning er en likning der én eller flere potenser har den ukjente (ofte x) i eksponenten.

 

Å løse eksponentiallikninger

For å løse eksponentiallikninger går vi gjennom to steg

1. Sørg for at potensen med den ukjente i eksponenten står alene på en side av likningen.

2. Ta logaritmen av begge sider av likningen.

Eksempel 1

Løs likningen 210x=4.

1. For å få potensen alene på venstresiden, må vi dividere med 2:

210x2=42

10x=2.

2. Fordi vi i likningen har 10 som grunntall i potensen med x i eksponenten (10x), tar vi

Logaritme

Logaritmen til et positivt tall n er den eksponenten som må brukes for å uttrykke n som en potens av et valgt fast tall, grunntall. Vanlige grunntall er e og 10.

logaritmen
 med grunntall 10 på begge sider av likhetstegnet:

log1010x=log102

Vi vet log1010x=x fordi grunntallet i potensen er det samme som grunntallet i logaritmen. Dermed står vi igjen med

x=log102=0,301.

Her kan vi bruke kalkulator til å regne ut logaritmen til 2 (denne er vist som bare log på kalkulatoren).

NB: Fordi 10 er et av de vanligste grunntallene i logaritmer, bruker vi bare loga i stedet for log10a.

Grunntallet er ikke 10?

Men hva gjør vi hvis grunntallet ikke er 10?

regel

La a være et hvilket som helst tall. Da gjelder

logax=logax

der logx er logaritmen med grunntall 10.

Eksempel 2

La oss igjen ta for oss Maria sitt renteproblem. Altså

1,03x=2.

Med regelen over kan vi nå løse likningen:

1,03x=2    Vi tar logaritmen på begge sider,
log1,03x=log2    vi bruker regelen over,
log1,03x=log2     vi deler på log1,03 på begge sider, 
 x=log2log1,03    og til slutt regner vi ut svaret med kalkulator,
 x=23,5    ... og får svaret!

Ifølge svaret tar det altså 23,5 år før Maria har 200 000 kr på konto. Vi runder opp til 24 år og sjekker svaret

100 0001,0324=203 279.

Svaret stemmer og Maria bør nok tenke på andre inntektskilder enn renter. 

Eksempel 3

Løs følgende eksponentiallikning der x i eksponenten er multiplisert med en konstant:

100,5x=5

Vi får simpelthen at log100,5x=0,5x og kan løse likningen ut ifra det:

log100,5x=log5

0,5x=log5 

x=log50,5=1,3979 .

Eksempel 4

Noen eksponentiallikninger har ingen løsning. For eksempel kan ikke en potens med positivt grunntall gi et negativt tall eller null.

Vi kan for eksempel ikke løse 

2x=-1,

0,15x=0,

og 1000,8x=-1.

e som grunntall

Av grunner som vil bli klare hvis du studerer mere matematikk, pleier matematikere først og fremst å bruke grunntallet e2,71828 (et 

Irrasjonale tall

Et reellt tall som ikke er et rasjonalt tall.

irrasjonalt tall
) med tilhørende logaritme loge, som kalles den naturlige logaritmen, og skrives ln. Vi har dermed følgende:

Regel

For et positivt tall b har vi at

elnb=b,       b>0.

For mer om logaritmer, se i høyrespalten på lynkurset Logaritmer eller de enkelte artiklene om logartimelikninger, den Briggske og den naturlige logaritmen.

Publisert: 29.07.2013 Endret: 04.08.2015

Tilsvarende emner behandles også i

Begrep

  • Eksponent

    En potens er et tall på formen xn, der verdien til n forteller hvor mange ganger vi ønsker å multiplisere x med seg selv. Det er n som kalles eksponenten.

    xn = x·x·x···x, n ganger

  • Eksponentialfunksjon

    Funksjon gitt ved abx, hvor b er en positiv konstant.

  • Grunntall

    En potens består av et grunntall og en eksponent.
    Eksempel: 4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ .
    3-tallet forteller hvor mange ganger 4 her skal stå som faktor. 4 er her grunntallet og 3 er eksponenten i potensen.

  • Logaritme

    Logaritmen til et positivt tall n er den eksponenten som må brukes for å uttrykke n som en potens av et valgt fast tall, grunntall. Vanlige grunntall er e og 10.

  • Potens

    En potens er et produkt der alle faktorene er like.

    Eksempel:
    4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ .
    3-tallet forteller hvor mange ganger 4 her skal stå som faktor. 4 er her grunntallet og 3 er eksponenten i potensen.

    Generelt:
    bª betyr et produkt med a stykker faktorer som alle er lik b.
    Slik:
    b · b · b · b · b ………·b (b er faktor a ganger).