Irrasjonale likninger

Irrasjonale likninger kjennetegnes ved at den ukjente er under et rottegn, for eksempel $\sqrt{x}=4$’. 

Husk at kvadratroten av et uttrykk kun gir mening når uttrykket er større enn eller lik 0.

Eksempel 1

I et kvadratisk rom med sidelengde 5 meter, la $x$ være arealet til rommet. Da er

$5=\sqrt{x}$

Vi løser likningen ved å opphøye begge sider i $2$:

$5^2{=\left(\sqrt{x}\right)}^2$

 $25=x$

Løsningsmetode

1. Sørg for å ha alle rotutrykk på en side av likningen.

2. Opphøy i annen (kvadrer) begge sider av likningen.

3. Rydd opp i det som er igjen og finn løsningen.

4. Sett prøve på svaret! Husk at likningen $x^2=a$ har løsninger $\pm \sqrt{a}$ når $a>0$. Når vi skriver $\sqrt{a}$ mener vi den positive roten. Det gjør at når vi kvadrerer kan det snike seg inn ekstra/falske løsninger. For eksempel er $2^2={\left(-2\right)}^2=4$.

Eksempel 2

Løs likningen  $\sqrt{x}=12-x$ .

Vi får:

som gir to løsninger.

Vi setter prøve på $x=16$. Dette gir oss  $\sqrt{16}=12-16$, altså $\sqrt{16}=-4$. Dette er ingen løsning da den positive roten til tallet ikke kan være et negativt tall. Setter vi inn den andre løsningen $x=9$ derimot, får vi at $3=3$. Vi konkluderer med at den eneste løsningen er $x=9$.

Eksempel 3

Løs likningen $\frac{1}{\sqrt{x}}=4$.

Eksempel 4

Løs likningen $\sqrt{x}-\sqrt{x+33}=-3$.

Vi setter prøve på svaret og finner

og løsningen vår er gyldig.