www.matematikk.org

Den naturlige logaritmen

Hva er den naturlige logaritmen?

DefinisjoN

La x være et positivt, reelt tall. Da er ln x det unike tallet som oppfyller egenskapen eln x=x hvor e2,7 er Euler’s konstant.

Dermed kan du tenke på tallet ln x som “tallet du må opphøye e i for å få x.”

Det å regne med den naturlige logaritmen er akkurat som å regne med den Briggske logaritmen. Grunnen til at vi gjerne ønsker å jobbe med basetallet e er fordi den deriverte til  eksponentialfunksjonen fx=ex er lik seg selv f'x=ex. Det gjør at den naturlige logaritmen i mange tilfeller er enklere å jobbe med.

Teorem

(a) ln xy=ylnx
(b) lnxy=lnx+lny
(c) lnxy=lnx-lny

Bevis

(a) Vi husker potensregelen abc=abc. Vi ser på uttrykket ylnx, og anvender definisjonen av den naturlige logaritmen til å komme frem til

eylnx=elnxy=xy=elnxy.

Dermed har vi vist (a).

 

(b) Vi husker potensregelen abac=ab+c. Vi anvender definisjonen av den naturlige logaritmen og kommer frem til at

elnx+lny=elnxelny=xy=elnxy.

Dermed har vi vist (b).

 

(c) bevises på samme måte som (b) ved hjelp og potensregelen abac=ab-c.

Eksempel 1

Den naturlige logaritmen til 1, ln1, er simpelthen 0, siden e0=1. Av samme grunn er lne=1.

Eksempel 2

Vi ønsker å løse likningen 5x=19π.

Vi anvender den naturlige logaritmen på begge sider og får

ln5x=ln19π.

Deretter bruker vi del (a) av teoremet

xln5=ln19π

og får

 x=ln19πln5.

Eksempel 3

Veksten i en bakteriekultur på to millioner er gitt ved funksjonen fx=2106e3x hvor x er antall dager. Finn ut når bakteriekulturen har 100 millioner eller flere bakterier.

Vi må løse likningen

2106e3x=100106.

Vi dividerer begge sider av likningen på 2106 og finner at

e3x=50106.

Vi anvender nå del (a) av teoremet og definisjonen av den naturlige logaritmen

3x=ln 50.

Dermed har vi at

x=ln 5031,3.

Det tar litt over en dag før bakteriekulturen er på over 100 millioner.

Publisert: 15.07.2015 Endret: 30.01.2018