Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

MAT1013 2016 Høst

Del 1
Del 2
Eksamensinformasjon

Eksamenstid:

5 timer:

Del 1 skal leveres inn etter 3 timer.

Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler på Del 1:

Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Hjelpemidler på Del 2:

Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:

Du skal svare på alle oppgavene i Del 1 og Del 2.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil en alternativ metode kunne gi lav/ingen uttelling.

Bruk av digitale verktøy som graftegner og CAS skal dokumenteres med utskrift eller gjennom en IKT-basert eksamen.

Veiledning om vurderingen:

Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

viser regneferdigheter og matematisk forståelse
gjennomfører logiske resonnementer
ser sammenhenger i faget, er kreativ og kan anvende fagkunnskap i nye situasjoner
kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
forklarer framgangsmåter og begrunner svar
skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger
vurderer om svar er rimelige

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (2 poeng) Nettkode: E-4QCV

Løs likningssystemet

$[\begin{matrix} 5 x = - 2 y \\ 2 x - y = - 9 \end{matrix}]$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Dette er et

Ligningssett

Et ligningssett er to eller flere ligninger med to eller flere ukjente.

likningssystem

med to ukjente. Vi kan bruke den andre likningen til å finne et uttrykk for en

y

, og sette inn dette uttrykket i den første likningen, altså kan vi bruke substitusjonsmetoden.

Vi begynner med å nummerere likningene våre, slik at vi får

$\begin{matrix} 5 x & = - 2 y (I) \\ 2 x - y & = - 9 (I I) \end{matrix}$

Nå kan vi bruke likning $(I I)$ til å finne et uttrykk for $y$ . Da får vi at $2 x - y = - 9 \Rightarrow y = 2 x + 9$ Videre kan vi sette inn dette uttrykket for $y$ i likning $(I)$ , slik at vi får en likning med bare én ukjent.

$\begin{matrix} 5 x & = - 2 y \\ 5 x & = - 2 (2 x + 9) \\ 5 x & = - 4 x - 18 \\ 5 x + 4 x & = - 18 \\ 9 x & = - 18 \\ x & = - 2 \end{matrix}$

Vi setter inn for $x = - 2$ i uttrykket til $y$ , og får at $y = 2 x + 9 = 2 (- 2) + 9 = - 4 + 9 = 5$

Svar: $x = - 2, y = 5$

Mer om

Denne oppgaven er om

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likninger

Ligningssett

Et ligningssett er to eller flere ligninger med to eller flere ukjente.

likningssystemer

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Likningssystemer og Substitusjonsmetoden.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om likningssystemer i Treningsleiren.

Oppgave 2 (2 poeng) Nettkode: E-4QCX

Skriv så enkelt som mulig

$\frac{2 x^{2} - 2}{x^{2} - 2 x + 1}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

For å forenkle brøken kan vi faktorisere teller og nevner og se om de har noen felles faktorer vi kan forkorte. Både teller og nevner er andregradsuttrykk og da kan det være nyttig å bruke kvadratsetningene eller konjugatsetningen for å fakorisere.

Vi vil faktorisere teller og nevner hver for seg og se om de har noen felles faktorer vi kan forkorte. Da kan vi begynne med å se på telleren.
Det første vi kan gjøre er å faktoriser ut $2$ . Da får vi at

$2 x^{2} - 2 = 2 (x^{2} - 1) .$

Vi kan skrive $1 = 1^{2}$ , og da kan vi bruke konjugatsetningen.

$2 (x^{2} - 1^{2}) = 2 (x + 1) (x - 1) .$

Nevneren minner om andre kvadratsetning $x^{2} - 2 x + 1 = x^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + 1^{2} = (x - 1)^{2} = (x - 1) (x - 1) .$

Nå har vi faktorisert både teller og nevner og ser at $(x - 1)$ er en fellesfaktor, og kan dermed forkorte:

$\frac{2 x^{2} - 2}{x^{2} - 2 x + 1} = \frac{2 (x + 1) (x - 1)}{(x - 1) (x - 1)} = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$

Svar: $\frac{2 (x + 1)}{x - 1}$

Mer om:

Denne oppgaven er om faktorisering,

Felles faktor

En felles faktor er et tall som finnes som faktor i to eller flere tall. Største felles faktor er det største tallet som er felles faktor.

Eksempel: 12 og 8, her er 2 og 4 felles faktor og 4 er den største felles faktor.

felles faktor

Andre kvadratsetning

Andre kvadratsetning sier at

${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ .

andre kvadratsetning

Konjugatsetningen

Konjugatsetningen kalles også tredje kvadratsetning:

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ .

konjugatsetningen

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Kvadratsetningene.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om faktorisering og kvadratsetninger fra Treningsleiren.

Oppgave 3 (2 poeng) Nettkode: E-4QCZ

Løs ulikheten

$- x^{2} + 3 x > - 10$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi har en andregradsulikhet, og da kan vi bruke abc-formelen til å finne nullpunktene. Disse kan vi bruke til å faktorisere uttrykket og tegne fortegnsskjema.

Først vil vi samle alle leddene på venstre side av ulikheten, slik at vi får

$- x^{2} + 3 x + 10 > 0 .$

Vi kan finne nullpunktene til $- x^{2} + 3 x + 10$ ved å bruke abc-formelen. Da får vi at

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 (- 1) (10)}}{2 (- 1)} = \frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{- 2} = \frac{- 3 \pm 7}{- 2} .$

Nullpunktene til uttrykket er

$x_{1} = \frac{- 3 + 7}{- 2} = \frac{4}{- 2} = - 2 og x_{2} = \frac{- 3 - 7}{- 2} = \frac{- 10}{- 2} = 5 .$

Et uttrykk $a x^{2} + b x + c$ med nullpunkter $x_{1}$ og $x_{2}$ kan faktoriseres slik at vi får

$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

og dermed kan vi skrive uttrykket vårt med nullpunkter $x_{1} = - 2$ og $x_{2} = 5$ som

$- x^{2} + 3 x + 10 = - (x - (- 2)) (x - 5) = - (x + 2) (x - 5) .$

Nå kan vi lage en fortegnslinje for hver av faktorene $- 1$ , $x + 2$ og $x - 5$ , og sette fortegnslinjene sammen til et fortegnskjema for $- (x + 2) (x - 5)$ .

Fra fortegnslinjen kan vi se at $- x^{2} + 3 x + 10 > 0$ for $- 2 < x < 5$ . så løsningsmengden blir $L = ⟨ - 2, 5 ⟩$ .

Svar: $x \in ⟨ - 2, 5 ⟩$

Mer om:

Denne oppgaven er om ulikheter og

Fortegnsskjema

Et fortegnsskjema er en grafisk framstilling av hvordan fortegnet til ulike faktorer i et uttrykk endrer seg med x.

fortegnsskjema

For flere forklaringer og eksempler, se lynkurset Ulikheter.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om ulikheter fra Treningsleiren.

Oppgave 4 (2 poeng) Nettkode: E-4QD1

Løs likningen

$\lg (2 x + \frac{3}{5}) = - 1$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Dette er en likning med logaritme, og da kan vi bruke den egenskapen til logaritmer at $10^{\lg x} = x$ .

For å løse denne likningen med logaritme kan vi bruke at $10^{\lg x} = x$ . Da opphøyer vi begge sider av likningen slik at vi får

$10^{\lg (2 x + \frac{3}{5})} = 10^{- 1}$

Da får vi at

$\begin{matrix} 2 x + \frac{3}{5} & = \frac{1}{10} \\ 2 x & = \frac{1}{10} - \frac{3}{5} \\ 2 x & = \frac{1}{10} - \frac{6}{10} \\ 2 x & = \frac{- 5}{10} = - \frac{1}{2} \\ x & = - \frac{1}{4} \end{matrix}$

Svar: $x = - \frac{1}{4}$

Mer om:

Denne oppgaven handler om

Logaritme

Logaritmen til et positivt tall n er den eksponenten som må brukes for å uttrykke n som en potens av et valgt fast tall, grunntall. Vanlige grunntall er e og 10.

Eksempel: log₁₀(1000) = 3 ettersom 10³ = 1000.

logaritmer

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likninger

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Logaritmelikninger.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om likninger med logaritmefunksjoner fra Treningsleiren.

Oppgave 5 (1 poeng) Nettkode: E-4QD3

Løs likningen

$2^{3} \cdot 2^{x} = 2^{2 x}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi har en likning med

Potens

En potens består av et grunntall opphøyd i en eksponent. Eksponenten sier hvor mange ganger grunntallet skal multipliseres med seg selv. En potens skrives på formen $x^{n}$ , som leses x opphøyd i n-te.

Eksempel: $4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4$

potenser

, der alle potensene har samme grunntall. Da kan vi bruke regnereglene for potenser.

I likningen er alle leddene potenser med $2$ som grunntall. Fra potensreglene har vi at

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} .$

Det gir oss at

$2^{3} \cdot 2^{x} = 2^{3 + x}$

For at likningen $2^{3 + x} = 2^{2 x}$ der begge sidene er potenser med grunntall $2$ , må vi ha at eksponentene er like, altså kan vi løse likningen

$\begin{matrix} 3 + x & = 2 x \\ x & = 3 \end{matrix}$

Svar: $x = 3$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Potens

potenser

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likninger

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Potenser med samme grunntall.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om likninger med eksponentialfunksjoner fra Treningsleiren.

Oppgave 6 (2 poeng) Nettkode: E-4QD5

Skriv så enkelt som mulig

$\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{54}} + 2^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{- 1}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

For å skrive uttrykket så enkelt som mulig kan vi ta for oss ledd for ledd og bruke potensreglene og reglene for kvadratrøtter til å forenkle dem hver for seg.

Vi vil skrive uttrykket så enkelt som mulig, og da kan vi begynne med å forenkle hvert av leddene først. Vi kan begynne med det første leddet, $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{54}}$ . For kvadratrøtter har vi at $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ , så vi kan skrive

$\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{54}} = \sqrt{\frac{48}{54}}$

Nå kan vi faktorisere og forkorte slik at vi får

$\sqrt{\frac{48}{54}} = \sqrt{\frac{6 \cdot 8}{6 \cdot 9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 2}}{3} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

I det andre leddet har vi to faktorer, $2^{\frac{1}{2}}$ og $3^{- 1}$ . Fra regnereglene til potenser har vi at $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$ og $a^{- m} = \frac{1}{a^{m}}$ . Det betyr at vi kan skrive

$2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$ og $3^{- 1} = \frac{1}{3^{1}} = \frac{1}{3}$ .

Produktet blir da

$2^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{- 1} = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

Nå har vi skrevet om begge leddene i uttrykket, og har at

$\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{54}} + 2^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{- 1} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{3 \sqrt{2}}{3} = \sqrt{2}$

Svar: $\sqrt{2}$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Potens

potenser

Rot

Se Kvadratrot

røtter

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Rask gjennomgang av regneregler for potens og røtter.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om potenser og likninger med eksponentialfunksjoner fra Treningsleiren.

Oppgave 7 (2 poeng) Nettkode: E-4QD7

Skriv så enkelt som mulig

$\frac{x + 2}{x - 3} - \frac{7 x + 14}{x^{2} - x - 6}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

For å trekke sammen brøker må vi ha fellesnevner. Da kan vi faktorisere brøkene for å finne fellesnevner og deretter utvide brøkene til fellesnevner før vi trekker dem sammen. Til slutt kan vi forkorte eventuelle fellesfaktorer i teller og nevner.

Vi vil ha brøkene på fellesnevner, og da kan vi begynne med å faktorisere nevnerne for å finne denne. Nevneren i det første uttrykket, $x - 3$ kan vi ikke gjøre noe med. I det andre leddet har vi andregradsuttrykket $x^{2} - x - 6$ i nevneren, og da kan vi bruke abc-formelen for å faktorisere. Den gir at

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- (- 1) \pm \sqrt{(- 1)^{2} - 4 (1) (- 6)}}{2 (1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}$

Da får vi at nullpunktene til $x^{2} - x - 6$ er

$x_{1} = \frac{1 + 5}{2} = 3 og x_{2} = \frac{1 - 5}{2} = - 2,$

og vi kan faktorisere

$x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x - (- 2)) = (x - 3) (x + 2) .$

I dette leddet kan vi også faktorisere telleren

$7 x + 14 = 7 (x + 2) .$

Nå kan vi utvide det første leddet ved å multiplisere teller og nevner med $x + 2$ for å få fellesnevner. Deretter kan vi trekke sammen brøkene.

$\frac{(x + 2) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{7 (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)}$

$= \frac{(x + 2) (x + 2) - 7 (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)}$ $= \frac{((x + 2) - 7) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)}$ $= \frac{x - 5}{x - 3}$

Svar: $\frac{x - 5}{x - 3}$

Mer om:

Denne oppgaven handler om

Faktorisering

Å faktorisere et tall betyr å skrive tallet som et produkt av to eller flere tall.

Eksempel: 36 = 2 · 18, 36 = 6 · 6, 36 = 2 · 2 · 3 · 3

Se også primtallsfaktorisering

faktorisering

Fellesnevner

Brøker med ulik nevner kan utvides slik at begge brøkene får samme nevner. Denne nevneren kalles fellesnevneren til brøkene.

Eksempel: $\frac{2}{21} + \frac{1}{6} = \frac{4}{42} + \frac{7}{42}$ , 42 er fellesnevner for disse to brøkene.

fellesnevner

Andregradsuttrykk

Et uttrykk på formen $a x^{2} + b x + c$ , hvor $x$ er den størrelsen som varierer, og $a, b$ og $c$ er konstante tall.

andregradsuttrykk

abc-formelen

abc-formelen sier at en likning på formen $a x^{2} + b x + c = 0$ har løsningene $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

abc-formelen

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen abc-formelen.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om faktorisering og forenkling av sammensatte rasjonale uttrykk fra Treningsleiren.

Oppgave 8 (2 poeng) Nettkode: E-4QD9

I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet grafen til en andregradsfunksjon $f$ . Bestem funksjonsuttrykket $f (x)$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi har en andregradfunksjon, og den vil være på formen $f (x) = a x^{2} + b x + c$ . Vi kan bruke nullpunktene til faktorisere funksjonen, og sette inn for punkt på grafen for å bestemme konstantene.

Vi skal bestemme funksjonsuttrykket $f (x)$ til en andregradsfunksjon. Funksjonen vil være på formen $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , så vi må bestemme konstantene $a$ , $b$ og $c$ . Et andregradsuttrykk, $a x^{2} + b x + c$ , kan faktoriseres ved hjelp av nullpunktene. Dersom $x_{1}$ og $x_{2}$ er nullpunkt kan vi skrive faktorisere $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Vi kan finne nullpunktene ved å lese av grafen. Da har vi at $- 2$ og $4$ er nullpunkt til $f (x)$ , altså kan vi faktorisere

$f (x) = a x^{2} + b x + c = a (x - (- 2) (x - 4) = a (x + 2) (x - 4)$ .

Alle punktene på grafen må tilfredstille funksjonen $f (x)$ , så nå kan vi bruke et punkt på grafen til å bestemme $a$ . Fra grafen kan vi lese av at punktet $(0, - 4)$ ligger på grafen, og det betyr at $f (0) = - 4$ , altså må vi ha at

$f (0) = a (0 + 2) (0 - 4) = - 4 .$

Vi løser for $a$ :

$a \cdot 2 \cdot (- 4) = - 4 \Rightarrow a = \frac{- 4}{- 8} = \frac{1}{2}$

Da har vi at funksjonsuttrykket er

$f (x) = \frac{1}{2} (x + 2) (x - 4)$

og kan multiplisere ut slik at vi får det på formen $a x^{2} + b x + c$ .

$f (x) = \frac{1}{2} (x + 2) (x - 4) = \frac{1}{2} (x^{2} - 4 x + 2 x - 8) = \frac{1}{2} (x^{2} - 2 x - 8) = \frac{1}{2} x^{2} - x - 4$

Svar: $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x - 4$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

Graf

En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.

grafer

, NAVNog

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunkt

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Nullpunktssetningen - når går divisjonen opp?

For å øve mer, se dette oppgavesettet om kvadratiske funksjoner fra Treningsleiren.

Oppgave 9 (8 poeng) Nettkode: E-4QDB

Funksjonen $f$ er gitt ved

$f (x) = (x - 1) (x - 1) (x + 2)$

a)

Bestem nullpunktene til $f$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

Nullpunktene

til

f (x)

er de punktene der

f (x) = 0

. Da kan vi se på når hver av faktorene til

f

er lik

0

Funksjonen $f (x)$ er et produkt av tre faktorer. Dersom en av faktorene til $f (x)$ er lik $0$ , har vi at $f (x) = 0$ .
De to første faktorene $(x - 1) = 0$ når $x = 1$ , altså er $1$ et nullpunkt.
Den tredje faktoren $(x + 2) = 0$ når $x = - 2$ , så $- 2$ er også et nullpunkt.

Svar: Nullpunktene til $f (x)$ er $(1, 0)$ og $(- 2, 0)$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunkter

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Nullpunktsetningen - når går divisjonen opp?.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om nullpunkter fra Treningsleiren.

b)

Vis at $f (x) = x^{3} - 3 x + 2$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi har fått et uttrykk for $f (x)$ . Vi kan regne ut dette og se om det stemmer med $f (x) = x^{3} - 3 x + 2$ .

For å sjekke om uttrykket til $f (x) = x^{3} - 3 x + 2$ , regner vi ut for funksjonsuttrykket gitt øverst i oppgaven og ser om vi får det samme.

$\begin{matrix} f (x) & = & (x - 1) (x - 1) (x + 2) \\ = & (x - 1)^{2} (x + 2) \\ = & (x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) \\ = & x^{3} - 2 x^{2} + x + 2 x^{2} - 4 x + 2 \\ = & x^{3} - 3 x + 2 \end{matrix}$

Dette var det vi ville frem til.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

Algebra

Algebra er den delen av matematikken som handler om strukturer, relasjoner og kvantiteter. I skolen er algebra ofte brukt som betegnelse på regning med bokstavuttrykk og ligninger.

Et algebrauttrykk kan være:

n + n + n + n + n = 5n

Her har vi lagt sammen n til sammen 5 ganger.

algebra

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Parenteser og faktorisering.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om parentesregning og faktorisering fra Treningsleiren.

c)

Bestem $f' (x)$ og bruk den deriverte til å bestemme eventuelle topp- og bunnpunkt på grafen til $f$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

For å finne toppunkt og bunnpunkt til grafen til $f$ kan vi finne når $f' (x) = 0$ og tegne fortegnslinje for å bestemme når vi har toppunkt og når vi har bunnpunkt.

Vi begynner med å finne den deriverte til $f$ .

$f' (x) = (x^{3} - 3 x + 2)' = 3 x^{2} - 3 .$

Vi kan faktorisere $f' (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x^{2} - 1)$ , og siden $1 = 1^{2}$ kan vi bruke konjugatsetningen, slik at vi får

$f' (x) = 3 (x^{2} - 1^{2}) = 3 (x + 1) (x - 1) .$

Den deriverte er $0$ når $x + 1 = 0$ , altså for $x = - 1$ og når $x - 1 = 0$ som gir $x = 1$ . Nå kan vi lage fortegnskjema for å sjekke hva som gir toppunkt og hva som gir bunnpunkt.

Fra fortegnsskjema så har vi at når $x = - 1$ har vi et toppunkt, og da er funksjonsverdien

$f (- 1) = (- 1)^{3} - 3 (- 1) + 2 = - 1 + 3 + 2 = 4$ .

Når $x = 1$ har vi et bunnpunkt, og da er funksjonsverdien

$f (1) = 1^{3} - 3 (1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$

Svar: $f' (x) = 3 x^{2} - 3$ , og grafen har toppunkt $(- 1, 4)$ og bunnpunkt $(1, 0)$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Fortegnsskjema

Et fortegnsskjema er en grafisk framstilling av hvordan fortegnet til ulike faktorer i et uttrykk endrer seg med x.

fortegnsskjema

Ekstremalpunkt

Vi sier at et punkt $x = a$ er et ekstremalpunkt for en funksjon $f (x)$ hvis det enten er et toppunkt eller bunnpunkt for funksjonen.

ekstremalpunkt

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Monotoniegenskaper.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om ekstremalpunkter fra Treningsleiren.

d)

Bestem likningen for tangenten til $f$ i punktet $(0, 2)$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker

Tangent

Tangent er en linje som berører en kurve i et punkt. Vi sier at linjen tangerer kurven i det punktet.

Tangenten

er en rett linje på formen

y = a x + b

, der

a

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstallet

b

er konstantleddet. Stigningstallet til tangenten i et punkt er det samme som den deriverte i punktet.

Vi skal bestemme likningen til tangenten til $f$ i punktet $(0, 2)$ . Siden en tangent er en rett linje, vil likningen være på formen $y = a x + b$ , der $a$ er stigningstallet og $b$ er konstantleddet. Vi kan finne stigningstallet $a$ ved å finne den deriverte i punktet, altså finne $f' (0)$ . Fra c) har vi at $f' (x) = 3 x^{2} - 3,$ og dermed har vi at

$f' (0) = 3 (0^{2}) - 3 = - 3$

Stigningstallet til tangenten er $a = - 3$ , og vi må ha $y = - 3 x + b$ .

Punktet $(0, 2)$ ligger på linja, og må tilfredstille likningen for tangenten. Så for å bestemme $b$ kan vi sette inn for $x = 0$ og $y = 2$ . Da får vi

$2 = - 3 (0) + b \Rightarrow b = 2$

Likningen for tangenten til $f$ i punktet $(0, 2)$ er gitt ved $y = - 3 x + 2$ .

Svar: $y = - 3 x + 2$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Tangent

Tangent er en linje som berører en kurve i et punkt. Vi sier at linjen tangerer kurven i det punktet.

tangent

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære funksjoner

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstall

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Å finne tangenten - introduksjon.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om funksjonsdrøfting fra Treningsleiren.

e)

Vis at grafen til $f$ ikke har andre tangenter som er parallelle med tangenten du fant i oppgave d).

Løs oppgaven her

Løsningsforslag e)

Jeg tenker

Dersom grafen til $f$ har flere tangenter som er parallelle med tangenten vi fant i b), må de ha samme stigningstall, altså må den deriverte, $f' (x) = - 3$ i flere punkter.

To tangenter er parallelle dersom de har samme stigningstall, så for å sjekke om grafen har flere tangenter som er parallell med den vi fant i b), må vi se om det er flere tangenter som har stigningstall $- 3$ , altså at $f' (x) = - 3$ . Siden vi har et uttrykk for den deriverte, $f' (x) = 3 x^{2} - 3$ , kan vi løse likningen

$\begin{matrix} 3 x^{2} - 3 & = & - 3 \\ 3 x^{2} & = & 0 \\ x^{2} & = & 0 \end{matrix}$

Vi har at $f' (x) = - 3$ kun for $x = 0$ . Det betyr at ingen andre punkt på grafen har tangent med stigningstall lik $- 3$ .

Mer om:

Denne oppgaven handler om

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstall

Parallell

To rette linjer i et plan er parallelle når de ikke skjærer hverandre. Avstanden mellom linjene er den samme uansett hvor du måler.

Tegnet som forteller at to linjer er parallelle: $∥$

Eksempel: $g ∥ f$ , leses "linja g er parallell med linja f".

parallell

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Å finne tangenten- introduksjon.

Oppgave 10 (2 poeng) Nettkode: E-4QDH

En likesidet trekant har omkrets $24$ .

Vis at arealet av trekanten er $16 \sqrt{3}$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

I en likesidet trekant har alle sidene samme lengde. Da kan vi bruke omkretsen til å bestemme sidelengdene. For å finne høyden kan vi bruke

Pytagoras læresetning

Pytagoras læresetning sier at:

Arealet av kvadratet utspent av hypotenusen i en rettvinklet trekant er lik summen av arealene til kvadratene utspent av katetene.

Hvis lengden av katetene er a og b, og lengden av hypotenusen er c, har vi denne sammenhengen : $a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Setningen kan brukes til å finne lengden til en side i en trekant.

Pytagoras læresetning

Vi kan begynne med å tegne en hjelpefigur.

Omkretsen til trekanten, som vi vet er $24$ , er summen av sidelengdene, det betyr at vi må ha

$x + x + x = 3 x = 24 \Rightarrow x = 8$

Sidelengdene i den likesidete trekanten er $8$ .

Arealet til en trekant er gitt ved formelen $A = \frac{g \cdot h}{2}$ , der $g$ er grunnlinje og $h$ er høyden. I trekanten er grunnlinjen er lik sidelengden, så for å regne ut arealet til trekanten må vi finne høyden. Det kan vi finne ved å bruke Pytagoras læresetning.

Fra hjelpefiguren kan vi se at vi har en rettvinklet trekant, der $h$ er lengste katet. Hypotenusen er sidelengden til trekanten, og vi vet nå at $x = 8$ . Den korteste kateten i trekanten er halvparten av sidelengden, altså $4$ . Fra Pytagoras læresetning får vi da at

$\begin{matrix} 8^{2} & = & h^{2} + 4^{2} \\ 64 & = & h^{2} + 16 \\ h^{2} & = & 48 \\ h & = & \sqrt{48} \\ h & = & \sqrt{16 \cdot 3} \\ h & = & 4 \sqrt{3} \end{matrix}$

Nå har vi at $g = 8$ og $h = 4 \sqrt{3}$ , og setter vi dette inn i formelen for arealet får vi

$A = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{8 \cdot 4 \sqrt{3}}{2} = 16 \sqrt{3}$

Svar: $A = 16 \sqrt{3}$

Mer om:

Denne oppgaven er om likesidede trekanter, areal og Pytagoras læresetning.

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Trekanter.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om trekantberegninger fra Treningsleiren.

Oppgave 11 (1 poeng) Nettkode: E-4QDP

Om en vinkel $u$ får du vite:

- $\sin u = \frac{8}{17}$

- $\cos u = \frac{15}{17}$

Bestem $\tan u$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi kan bruke definsjonene til tangens til å bestemme $\tan u$ .

Fra definisjonene til tangens har vi at

$\tan u = \frac{\sin u}{\cos u}$

Vi har fått oppgitt at $\sin u = \frac{8}{17}$ og $\cos u = \frac{15}{17}$ i oppgaven og kan sette inn i uttrykket over. Da får vi at

$\tan u = \frac{\frac{8}{17}}{\frac{15}{17}} = \frac{8}{15}$

Svar: $\tan u = \frac{8}{15}$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Trigonometri

Læren om forholdet mellom vinkler og sider i en trekant. De trigonometriske funksjonene sinus og cosinus er de viktigste redskapene i denne teorien.

trigonometri

Sinus

Forholdet mellom lengdene til motstående katet og hypotenus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant.

$\sin (A) = \sin (u) = \frac{{motstående}_{katet}}{hypotenus} = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b}$

sinus

Cosinus

Cosinus er en trigonometrisk funksjon.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til hosliggende katet og hypotenus.

cosinus

Tangens

En trigonometrisk funksjon.

Tangens til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til motstående katet og hosliggende katet.

tangens

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Sinus, cosinus og tangens.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om trigonometri fra Treningsleiren.

Oppgave 12 (3 poeng) Nettkode: E-4QDX

a)

Gitt trekanten ovenfor.

Vis at ${(\sin u)}^{2} + {(\cos u)}^{2} = 1$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi kan bruke definisjonen til sinus og cosinus til å bestemme $\sin u$ og $\cos u$ .

Fra definisjonene til sinus og cosinus har vi at

$\sin u = \frac{motstående katet}{hypotenus} og \cos u = \frac{hosliggende katet}{hypotenus}$

Fra figuren har vi at hypotenusen har lengde $5$ , og for vinkel $u$ har vi at motstående katet har lengde $4$ og hosliggende katet har lengde $3$ . Da får vi at $\sin u = \frac{4}{5}$ og $\cos u = \frac{3}{5}$ , og videre får vi

$(\sin u)^{2} + (\cos u)^{2} = (\frac{4}{5})^{2} + {(\frac{3}{5})}^{2} = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1$

som var det vi ville frem til.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er rett, altså 90 grader.

rettvinklede trekanter

Sinus

En trigonometrisk funksjon.
Sinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom lengden til motstående katet og hypotenus.

sinus

Cosinus

Cosinus er en trigonometrisk funksjon.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til hosliggende katet og hypotenus.

cosinus

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Sinus, cosinus og tangens.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om trigonometri fra Treningsleiren.

b)

Bruk trekanten ovenfor til å vise at ${(\sin v)}^{2} + {(\cos v)}^{2} = 1$ for alle $v \in ⟨0^{\circ}, 9 0^{\circ}⟩$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi kan finne uttrykk for $\sin v$ og $\cos v$ gitt ved $a$ , $b$ og $c$ . Vi kan og merke oss at denne trekanten er rettvinklet og da holder Pytagoras læresetning

Vi begynner med å finne et uttrykk for $\sin v$ og $\cos v$ . Hypotenusen i trekanten er $c$ , og for vinkel $v$ har vi motstående katet $a$ og hosliggende katet $b$ , det betyr at

$\sin v = \frac{a}{c} og \cos v = \frac{b}{c} .$

Da får vi at

$(\sin v)^{2} + (\cos v)^{2} = {(\frac{a}{c})}^{2} + {(\frac{b}{c})}^{2} = \frac{a^{2}}{c^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} = \frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$

Siden trekanten er rettvinklet vet vi at Pytagoras læresetning holder. Det betyr at

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Dette medfører at

$(\sin v)^{2} + (\cos v)^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} = 1$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er rett, altså 90 grader.

rettvinklede trekanter

Trigonometriske funksjoner

Funksjonene sinus, cosinus, tangens og cotangens. Defineres enklest for en spiss vinkel i en rettvinklet trekant som forholdet mellom to av sidene i trekanten.

trigonometriske funksjoner

Pytagoras læresetning

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Trekanter.

Oppgave 13 (3 poeng) Nettkode: E-4QE0

I en eske er det fire blå og fire røde nisser. Tenk deg at du skal ta tre nisser tilfeldig fra eksen. Du skal ta én nisse om gangen, og du skal sette dem på en rekke fra venstre mot høyre.

a)

Bestem sannsynligheten for at rekken vil bli som vist på bildet nedenfor.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

For å finne sannsynligheten kan vi bruke

Produktsetningen

Produktsetningen sier at $P (A \cap B) = P (A | B) \cdot P (B)$ , hvor $P (A | B)$ er den sannsynligheten for at A inntreffer gitt B.

produktsetningen

Det er fire blå og fire røde nisser, totalt åtte nisser. Vi skal trekke en tilfeldig nisse fra esken. Sannsynligheten for at vi trekker en blå nisse på første trekk er:

$P (blå på første) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Vi antar nå at vi trakk en blå nisse første gang. Nå har vi $7$ nisser igjen, og $4$ av disse er rød. Sannsynligheten for å trekke en rød nisse andre gang er da:

$P (Rød på andre) = \frac{4}{7}$

Når vi skal trekke tredje gang vil det være $6$ nisser igjen, hvor $3$ er rød. Sannsynligheten for at vi trekker en rød nisse tredje gang er

$P (Rød på tredje) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Sannsynligheten for at vi trekker først en blå nisse, og deretter to røde, er sannsynligheten for at de tre hendelsene over har skjedd, og da kan vi bruke produktregelen som sier at:

$P (en blå nisse, deretter to røde) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 4 \cdot 1}{2 \cdot 7 \cdot 2} = \frac{4}{4 \cdot 7} = \frac{1}{7}$

Svar: Det er $\frac{1}{7}$ sannsynlighet at vi trekker rekkefølgen som bildet viser.

Mer om

Denne oppgaven er om

Sannsynlighet

Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en hendelse skal skje.
En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.

Sannsynlighet 0 betyr at en hendelse helt sikkert ikke skjer.
Sannsynlighet 1 betyr at en hendelse helt sikkert skjer.

Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.

Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.

sannsynlighet

Uten tilbakelegging

Dersom vi ikke legger tilbake den første gjenstanden før vi trekker neste, sier vi at et forsøk er gjort uten tilbakelegging.

Eksempel: Lottotrekning.

uten tilbakelegging

Produktsetningen

Produktsetningen sier at $P (A \cap B) = P (A | B) \cdot P (B)$ , hvor $P (A | B)$ er den sannsynligheten for at A inntreffer gitt B.

produktsetningen

For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med sannsynlighet, se artiklene Hvordan finner vi uniform sannsynligheten? og Betinget sannsynlighet og produktsetningen.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om produktsetningen fra Treningsleiren.

b)

Bestem sannsynligheten for at det vil bli én blå og to røde nisser i rekken.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Det finnes flere mulige måter å trekke én blå og to røde nisser på. Vi kan finne sannsynligheten for alle, og addere dem sammen.

Vi kan trekke én blå og to røde nisser på ulike måter. Vi kan enten ha:
$B R R$ : først en blå og deretter to røde.
$R B R$ : først en rød, deretter en blå, og en rød til sist.
$R R B$ : først to røde og en blå til sist.

Vi må regne ut sannsynligheten for disse tre hendelsene og addere de sammen for å få sannsynligheten for å få én blå og to rød nisser. Fra oppgave 9a) så vet vi at $P (B R R) = \frac{1}{7}$ .

Vi regner ut sannsynligheten for $R B R$ . Når vi skal trekke første gang har vi $8$ nisser i esken, hvor $4$ av dem er røde. Sannsynligheten for at vi trekker en rød er da

$P (R) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Nå har vi $7$ nisser igjen, hvorav $4$ er blå. Sannsynligheten for at neste nisse vil være blå er

$P (B) = \frac{4}{7}$

Før siste trekk har vi igjen $6$ nisser, og $3$ av disse er rød. Da er sannsynligheten at den siste vil være rød

$P (R) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Dermed har vi at $P (R B R) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 4 \cdot 1}{2 \cdot 7 \cdot 2} = \frac{1}{7}$

Vi kan regne ut $P (R R B)$ på tilsvarende måte. Da får vi

$P (R R B) = \frac{4}{8} \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{4}{6} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 4}{8 \cdot 7 \cdot 6} = \frac{1}{7}$

Totalt får vi da at

$P (Én blå og to røde nisser) = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$

Svar: Sannsynligheten for en blå nisse og to røde nisser er $\frac{3}{7}$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Sannsynlighet

sannsynlighet

, og

Ordnede utvalg

Når vi trekker objekter fra en samling og rekkefølgen vi trekker i er viktig, kalles dette for et ordnet utvalg.

ordnede utvalg

For flere forklaringer og eksempler på sannsynlighet med ordnet utvalg, se artikkelen Ordnede utvalg.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om Ordnede utvalg med og uten tilbakelegging i Treningsleiren.

c)

Bestem sannsynligheten for at det vil bli minst én blå nisse i rekken.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Hendelsene for at det er minst én blå nisse i rekken er

Komplement

Komplementet til A, betegnet med $A^{c}$ , består av alle elementer som er i utfallsrommet U men ikke i A. Med andre ord, $A^{c} = U ∖ A$ .

komplementær

med at alle nissene er røde.

Hendelsen at vi trekker minst en blå nisse er komplementær med at alle nissene vi trekker er røde. Da har vi at

$P (minst én blå) = 1 - P (alle er røde)$

Sannsynligheten for at vi trekker rød på første trekk er

$P (rød på første trekk) = \frac{4}{8}$

Sannsynligheten for rød på andre trekk er

$P (rød på andre trekk) = \frac{3}{7}$

og sannsynligheten for rød på tredje trekk er

$P (rød på tredje trekk) = \frac{2}{6}$

Sannsynligheten for at alle er rød er

$P (R R R) = \frac{4}{8} \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{6} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{8 \cdot 7 \cdot 6} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{4 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{1}{2 \cdot 7} = \frac{1}{14}$

Sannsynligheten for at vi trekker minst én blå nisse er

$P (minst én blå nisse) = 1 - \frac{1}{14} = \frac{13}{14}$

Svar: Sannsynligheten er $\frac{13}{14}$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Sannsynlighet

sannsynlighet

Uten tilbakelegging

Dersom vi ikke legger tilbake den første gjenstanden før vi trekker neste, sier vi at et forsøk er gjort uten tilbakelegging.

Eksempel: Lottotrekning.

uten tilbakelegging

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Sannsynlighet ved komplementære hendelser.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om sannsynlighetsregning fra Treningsleiren.

Oppgave 14 (4 poeng) Nettkode: E-4QE4

Sirkelbuene på figuren ovenfor er halvsirkler. Linjestykket $A B$ har lengden $a$ , og linjestykket $B C$ har lengden $4 a$ .

a)

Bestem omkretsen av det blå området på figuren uttrykt ved $a$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

For å finne omkretsen kan vi finne omkretsen av hver av halvsirklene og addere dem sammen.

Vi skal finne omkretsen til det blå området, uttrykt ved $a$ . Da kan vi finne omkretsen til hver av halvsirklene og addere dem sammen.

Omkretsen til en sirkel er gitt ved $O = 2 π r = π d$ , der $r$ er radiusen og $d$ er diameteren til sirkelen. Fra figuren over kjenner vi diameteren til alle halvsirklene. Vi har halvsirkelen med diameter $A B = a$ , halvsirkelen med diameter $B C = 4 a$ og halvsirkelen med diameter $A C = a + 4 a = 5 a$ . Nå kan vi bruke formelen for omkretsen til en sirkel for å finne omkretsen til hver av halvsirklene. Fordi vi ser på halvsirkelen, må vi dividere med $2$ . Da får vi at

$\begin{matrix} O_{A B} & = \frac{π a}{2} \\ O_{B C} & = \frac{π 4 a}{2} \\ O_{A C} & = \frac{π 5 a}{2} \end{matrix}$

Omkretsen av det blå området finner vi da ved

$O = O_{A B} + O_{B C} + O_{A C} = \frac{π a}{2} + \frac{π 4 a}{2} + \frac{π 5 a}{2} = \frac{π (a + 4 a + 5 a)}{2} = \frac{π 10 a}{2} = 5 π a$

Svar: Omkretsen til det blå området er $5 π a$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Algebra

Algebra er den delen av matematikken som handler om strukturer, relasjoner og kvantiteter. I skolen er algebra ofte brukt som betegnelse på regning med bokstavuttrykk og ligninger.

Et algebrauttrykk kan være:

n + n + n + n + n = 5n

Her har vi lagt sammen n til sammen 5 ganger.

algebra

Omkrets

Omkrets er et mål for hvor langt det er rundt en figur, langs sidekantene.

Omkrets er et mål for lengde. Derfor måles omkrets i meter eller i en lengdeenhet avledet av meter.

omkrets

Sirkel

Sirkel brukes i to betydninger:

1) Selve sirkellinjen som er den krumme linjen som går gjennom punktene som har samme avstand fra et fast punkt, nemlig sentrum i sirkelen. Dette er det samme som sirkelen sin omkrets.

2) Flaten som sirkellinjen begrenser.

Areal: $A = π r^{2}$
Omkrets: $O = 2 π r$

sirkler

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Alt om sirkel.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om omkrets fra Treningsleiren.

b)

Bestem arealet av det blå området på figuren uttrykt ved $a$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

For å finne arealet til det blå området kan vi finne arealet til den store halvsirkelen og trekke fra arealet av de to mindre halvsirklene.

Arealet til en sirkel er gitt ved formelen $A = π r^{2}$ der $r$ er radiusen til sirkelen, det betyr at vi kan finne arealet til en halvsirkel ved $A = \frac{π r^{2}}{2} .$ For å finne arealet til det blå området kan vi først finne arealet til den store halvsirkelen og trekke fra arealet til de mindre halvsirklene.

Den store halvsirkelen har $d = 5 a$ , siden radiusen er halve diameteren har vi at $r = \frac{5 a}{2}$ , og arealet er

$A_{A C} = \frac{π {(\frac{5 a}{2})}^{2}}{2} = \frac{\frac{25}{4} π a^{2}}{2}$

For halvsirkelen med diameter $B C = 4 a$ får vi $r = 2 a$ , og arealet er gitt ved

$A_{B C} = \frac{π (2 a)^{2}}{2} = \frac{4 π a^{2}}{2}$

Den siste halvsirkelen har radius $r = \frac{a}{2}$ , og arealet er da

$A_{A B} = \frac{π {(\frac{a}{2})}^{2}}{2} = \frac{\frac{1}{4} π a^{2}}{2}$

Nå kan vi finne arealet til det blå området ved

$\begin{matrix} A & = & A_{A C} - A_{B C} - A_{A B} \\ = & \frac{\frac{25}{4} π a^{2}}{2} - \frac{4 π a^{2}}{2} - \frac{\frac{1}{4} π a^{2}}{2} \\ = & \frac{π a^{2}}{2} (\frac{25}{4} - 4 - \frac{1}{4}) \\ = & \frac{π a^{2}}{2} (\frac{24}{4} - 4) \\ = & \frac{π a^{2}}{2} (6 - 4) \\ = & π a^{2} \end{matrix}$

Svar: Arealet til det blå området er $π a^{2}$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Algebra

Algebra er den delen av matematikken som handler om strukturer, relasjoner og kvantiteter. I skolen er algebra ofte brukt som betegnelse på regning med bokstavuttrykk og ligninger.

Et algebrauttrykk kan være:

n + n + n + n + n = 5n

Her har vi lagt sammen n til sammen 5 ganger.

algebra

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Sirkel

Sirkel brukes i to betydninger:

Areal: $A = π r^{2}$
Omkrets: $O = 2 π r$

sirkler

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Alt om sirkel.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om areal fra Treningsleiren.

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (5 poeng) Nettkode: E-4QEC

En jakt- og fiskeforening vil sette ut fisk i en innsjø. Fisk som blir satt ut, kaller vi settefisk. Foreningen går ut fra at funksjonen $f$ er gitt ved

$f (x) = 35 400 \cdot 0, 99 6^{x}, x \in [0, 400]$

viser hvor mange settefisk $f (x)$ det vil være igjen i innsjøen $x$ døgn etter utsettingen.

a)

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi kan bruke GeoGebra til å tegne grafen

Vi kan bruke kommandoen

Funksjon[ $<$ Funksjon $>$ , $<$ Start $>$ , $<$ Slutt $>$ ]

i GeoGebra. Vi vil tegne grafen for $x \in [0, 400]$ , så da skriver vi inn

$f (x) = Funksjon [35400 * {0.996}^{\land} x, 0, 400]$

i inntastingsfeltet. For at GeoGebra skal vise alle desimalene stiller vi inn GeoGebra til å vise tre desimaler under “Innstillinger” og “Avrunding”. Vi justerer på aksene og setter på navn.

Svar:

Mer om:

Denne oppgaven handler om

Graf

graf

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Graftegner.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om grafisk framstilling fra Treningsleiren.

b)

Hva forteller tallene $35 400$ og $0, 996$ i funksjonsutrykket om antall settefisk i innsjøen?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi har en funksjon på formen $a \cdot b^{x}$ , altså har vi en eksponential funksjon. Her forteller $a$ oss noe om startverdien og $b$ er vekstfaktoren.

Vi kan legge merke til at

$f (0) = 35400 \cdot 0, 996^{0} = 35400$ ,

så $35400$ er altså antall settefisk $0$ døgn etter utsetting, altså må dette være antall fisk som blir satt ut i innsjøen.

Vi finner antall settefisk én dag etter utsetting ved

$f (1) = 35400 \cdot 0, 996^{1}$

og antall settefisk to dager etter utsetting finner vi ved

$f (2) = 35400 \cdot 0, 996^{2} = 35400 \cdot 0, 996 \cdot 0, 996 = f (1) \cdot 0, 996$

og så videre. Det betyr at antall settefisk er gitt ved å multiplisere antall settefisk fra foregående dag med $0, 996$ . $0, 996$ er altså vekstfaktoren til funksjonen. Vi har at $0, 996 = 1 - 0, 004 = 1 - \frac{0, 4}{100}$ , så det tilsvarer en nedgang på $0, 4 %$ settefisk per døgn.

Svar: $35400$ er antall fisk som blir satt ut, og $0, 996$ forteller at antall settefisk avtar med $0, 4 %$ per døgn.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentialfunksjoner

Vekstfaktor

Er en prosentvis endring hvor vi ser på en økning eller en nedgang av en verdi.

Eksempel: en vekstfaktor på 1,15 betyr 15 % økning. Tilsvarende vil en vekstfaktor på 0,85 bety 15 % nedgang.

vekstfaktor

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Typer av funksjoner.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om eksponentialfunksjoner fra Treningsleiren.

c)

Bestem $f' (100)$ ved å tegne en tangent til grafen i $f$ .

Hva forteller denne verdien om antall settefisk i innsjøen?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Den deriverte i et punkt er det samme som stigningstallet i tangenten. For å finne likningen til tangenten kan vi bruke GeoGebra.

Vi skal finne den deriverte til funksjonen når $x = 100$ . Den deriverte i et punkt er det samme som stigningstallet til tangenten i det samme punktet. Den kan vi finne ved hjelp av GeoGebra, og kommandoen Tangent[ $<$ Punkt $>$ , $<$ Funksjon $>$ ]. Vi vil finne tangenten i punktet $(100, f (100))$ , så vi skriver inn

Tangent[(100,f(100)), f],

og får opp ei linje med likning $y = - 95.031 x + 33213.443$ .

Ei rett linje har likning på formen $y = a x + b$ , der $a$ er stigningstallet. Det betyr at stigningstallet til tangenten er $- 95.031$ , og $f' (100) = - 95.031$ . Den deriverte forteller oss om vekstfarten til funksjonen i punktet, så denne verdien forteller oss at antall settefisk $100$ døgn etter utsetting avtar med omtrent $95$ fisk i døgnet.

Svar: $f' (100) = - 95.031$ . Dette forteller at antall settefisk avtar med omtrent $95$ fisk i døgnet etter $100$ døgn.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Tangent

Tangent er en linje som berører en kurve i et punkt. Vi sier at linjen tangerer kurven i det punktet.

tangenter

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstall

Momentan vekstfart

Den momentane vekstfarten til funksjonen $f (x)$ i et punkt $x = a$ , er stigningstallet til tangenten til kurven i punktet.

momentan vekstfart

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Å finne tangenten - introduksjon.

d)

Bestem gjennomsnittlig vekstfart for antall settefisk det første året etter utsettingen.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker

Vi vil finne den gjennomsnittlige endringen i settefisk per døgn i løpet av det første året. Da kan vi se på den totale endringen i antall settefisk i løpet av det første året i forhold til antall døgn.

For å finne gjennomsnittlig vekstfart vil vi se på hvor stor endring i settefisk det har vært totalt gjennom året, og fordele antallet på antall døgn slik at vi får gjennomsnittlig endring per døgn.
Vi har at en funksjon har gjennomsnittlig vekstfart

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}$

mellom $x_{2}$ og $x_{1}$ , og dette er det samme som stigningstallet til ei rett linje gjennom punktene $(x_{1}, f (x_{1}))$ og $(x_{2}, f (x_{2}))$ . Stigningstallet til ei rett linje forteller hvor mye grafen endrer seg i $y$ -retning når vi øker med én enhet i $x$ -retning. Det betyr at dersom vi ser på den rette linja gjennom punktene $(0, f (0))$ og $(365, f (365))$ vil stigningstallet fortelle oss den gjennomsnittlige endringen settefisk per døgn.

Vi kan bruke GeoGebra-filen vår til å finne denne linja. Vi begynner med å skrive inn punktene (0,f(0)) og (365,f(365)) i inntastingsfeltet. Videre bruker vi “Linje”-verktøyet og velger de to punktene. Da får vi opp ei linje med likning $y = - 74, 528 x + 35400$ . Dersom likningen som kommer opp er på en annen form enn $y = a x + b$ , kan vi høyreklikke på uttrykket for $h$ og velge “Likning y=ax+b”.

Stigningstallet til denne linja er $- 74, 528$ og det forteller oss at den gjennomsnittlige vekstfarten var omtrent $- 75$ settefisk per døgn.

Svar: Gjennomsnittlig vekstfart var omtrent $- 75$ settefisk per døgn

Alternativ løsningsforslag

Vi kan også finne den gjennomsnittlige vekstfarten ved regning. Vi har at den gjennomsnittlig vekstfarten er $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (365) - f (0)}{365 - 0} .$ Vi kan bruke CAS til å regne dette ut. Vi åpner CAS i samme vindu som vi har skrevet funksjonen i. Da kan vi skrive inn
(f(365)-f(0))/(365-0)
og får da

Den gjennomsnittlige vekstfarten er $- 74, 528 \approx - 75$ settefisk per døgn.

Mer om:

Denne oppgaven er om gjennomsnittlig vekstfart og stigningstall.

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Introduksjon til derivasjon – gjennomsnittlig og momentan vekstfart.

Oppgave 2 (4 poeng) Nettkode: E-4QEJ

År

1970

1980

1990

2000

2010

Kilogram sjokolade

per person

4, 6

6, 2

7, 6

8, 2

9, 5

Tabellen ovenfor viser hvor mange kilogram sjokolade hver person i Norge i gjennomsnitt spiste i årene $1970, 1980, 1990, 2000 og 2010$ .

a)

La $x$ være antall år etter $1970$ , og bruk regresjon til å bestemme en lineær funksjon $S$ som kan beskrive utviklingen i perioden $1970 - 2010$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi kan bruke regresjon i GeoGebra til å lage den lineære funksjonen som passer best til den informasjonen vi får oppgitt i tabellen over.

Vi begynner med å skrive inn informasjonen vi får oppgitt i tabellen inn i et regneark i GeoGebra. Regnearket finner vi i “Vis”-menyen.

Vi skriver inn verdiene for år i kolonne A, og siden vi vil ha at $x$ er antall år etter $1970$ , skriver vi da $0$ for $1970$ , $10$ for år $1980$ og så videre. Antall kilogram per person skriver vi inn i kolonne B.

Nå kan vi bruke regresjonsverktøyet i GeoGebra. Da markerer vi rutene vi har skrevet i og velger Regresjonsverktøy i nedrykksmenyen fra knappen med et histogram. Vi velger “Analyser” i det første vinduet som kommer opp, og får opp et nytt vindu:

Vi vil finne en lineær funksjon som beskriver utviklingen. Under “Regresjonsmodell” kan vi velge “Lineær”. Da får vi

Da får vi at $y = 0, 12 x + 4, 86$ er den lineære funksjonen som beskriver utviklingen best fra år $1970 - 2010$ . Vi vil skrive dette som en funksjon $S$ av $x$ , og har $S (x) = 0, 12 x + 4, 86$

Svar: $S (x) = 0, 12 x + 4, 86$ .

Alternativ løsningsforslag

I GeoGebra kan vi også bruke kommandoen RegLin for å finne den lineære funksjonen som passer best.

Vi skriver informasjonen fra tabellen inn i et regneark som over. Deretter markerer vi begge kolonnene, klikker med høyre musetast og velger “Lag” og videre “Liste med punkt”.

I GeoGebra kan vi bruke følgende kommando for å lage en lineær regresjon som passer med verdiene i tabellen gitt i oppgaven:

RegLin[ $<$ Liste med punkt $>$ ]

Punktene våre har blitt lagret som Liste1 i algebrafeltet til GeoGebra. Så vi skriver: RegLin[ Liste1], som gir denne grafen:

Mer om:

Denne oppgaven er om

Regresjon

Regresjon er å finne en funksjon som passer til et datasett. Altså, en funksjon som går gjennom, eller er nærmest flest mulig punkter i datasettet.

regresjon

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineær funksjon

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Regresjon 1.

b)

Hva forteller stigningstallet til funksjonen $S$ ?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med enhet på $x$ -aksen, altså på ett år.

Stigningstallet til grafen forteller hvor stor endring vi har i $y$ -verdi når vi øker med én enhet i $x$ -verdi. I vårt tilfelle forteller stigningstallet om endringen i kilogram sjokolade per person per år. Fra funksjonen vi fant i a), $S (x) = 0, 12 x + 4, 86$ , har vi at stigningstallet er $0, 12$ , så endringen er omtrent $0, 12$ kg/år, altså øker mengden sjokoloade per person spiser med omtrent $120$ g sjokolade hvert år.

Svar: Stigningstallet forteller at nordmenn spiser omtrent $120$ g mer sjokolade for hvert år.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære funksjoner

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstall

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Rette linjer (lineære funksjoner).

c)

Hvor mange gram sjokolade vil hver person i Norge i gjennomsnitt spise i $2020$ ifølge funksjonen $S$ ?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

År $2020$ er $50$ år etter $1970$ , så vi vil finne funksjonsverdien til $S$ når $x = 50$ .

Vi kan bruke regresjonsanalysen fra a) til å finne hvor mye sjokolade hver person i Norge vil spise i gjennomsnitt i $2020$ . Siden $2020$ er $50$ år etter $1970$ vil vi finne funksjonsverdien når $x = 50$ . Vi fikk opp følgende vindu i a):

Nede til høyre kan vi lese “Symbolsk utregning” og her kan vi skrive inn den verdien for $x$ vi vil ha funksjonsverdien til. For å finne mengde sjokolade i 2020 skriver vi inn $x = 50$ og får $y = 10, 76$ . I funksjonen vår får vi mengde sjokolade i kilogram, så i $2020$ spiser en person i Norge i gjennomsnitt $10, 76$ kg sjokolade. For å finne antall gram per person, multipliserer vi med $1000$ og får at i gjennomsnitt spiser en person $10760$ gram sjokolade.

Svar: $10760$ gram sjokolade.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære funksjoner

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Rette linjer (lineære funksjoner).

Oppgave 3 (4 poeng) Nettkode: E-4QEN

Funksjonen $f$ er gitt ved

$f (x) = x^{2}$

Linja $l$ skjærer grafen til $f$ i punktene $P (p, f (p)) og Q (q, f (q))$ .

Se koordinatsystemet.

a)

Vis at linja $l$ har stigningstall $p + q$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi kan finne stigningstallet til en rett linje ved å se på forholdet mellom hvor mye grafen endrer verdi i $y$ -retning og $x$ -retning.

For å finne stigningstallet til linja må vi finne ut endringen til funksjonen i $y$ -verdi og $x$ -verdi.
Vi skal se på linja gjennom punktene $(p, f (p))$ og $(q, f (q))$ . Siden funksjonen $f (x) = x^{2}$ , må vi ha at $f (p) = p^{2}$ og $f (q) = q^{2}$ .

Endring i $y$ -retning er

$Δ y = f (q) - f (p) = q^{2} - p^{2}$

Dette minner oss om konjugatsetningen, og vi kan skrive

$q^{2} - p^{2} = (q + p) (q - p)$ .

Endring i $x$ -retning er

$Δ x = q - p$

Stigningstallet til linja er da

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{(q + p) (q - p)}{q - p} = q + p = p + q$

som var det vi ville vise.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstall

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Rette linjer (lineære funksjoner).

b)

Bruk CAS til å bestemme skjæringspunktene mellom linja $l$ og koordinataksene.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

For å finne skjæringspunktet med $y$ -aksen kan vi finne når $x = 0$ , og for å finne skjæringspunktet med $x$ -aksen, kan vi se på når $y = 0$ .

Vi skal bruke CAS til å bestemme skjæringspunktene. Da må vi først finne ett uttrykk for linja $l$ i CAS. Vi kan begynne med å definere funksjonen $f (x)$ ved å skrive

f(x):=x $^{\land}$ 2.

Videre kan vi definere punktene $P = (p, f (p))$ og $Q = (q, f (q))$ i CAS ved å skrive

P:=(p,f(p)) og Q:=(q,f(q)).

For å finne uttrykket til linja gjennom $P$ og $Q$ skriver vi

l:=Linje[P,Q].

Da får vi at linja $l$ er på formen $y = - p q + x (p + q)$ . Nå vil vi finne skjæringspunktene mellom linja og koordinataksene. For å finne skjæringspunktet med $x$ -aksen må vi finne når $y = 0$ , og kan skrive inn i CAS:

0=-pq+x(p+q)

og trykke på $x =$ . Da får vi at $x = \frac{p q}{p + q}$ .
Videre vil vi finne skjæringspunktet med $y$ -aksen, og da kan vi se på når $x = 0$ , og kan skrive inn

y=-pq+0*(p+q).

Da får vi at $y = - p q$ .

Svar: Linja $l$ skjærer $x$ -aksen i $(\frac{p q}{p + q}, 0)$ og $y$ -aksen i $(0, - p q)$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Skjæringspunkt

Der to eller flere linjer krysser hverandre, sier vi at de har et felles skjæringspunkt. I et koordinatsystem kan skjæringspunktet leses av ved å trekke en loddrett strek ned til x-aksen og en vannrett strek bort til y-aksen.

skjæringspunkt

For flere forklaringer og eksempler fra CAS, se artikkelen CAS.

Oppgave 4 (4 poeng) Nettkode: E-4QEQ

En idrettsklubb har tre aktiviteter: fotball, håndball og basketball. Noen av medlemmene deltar i én aktivitet, noen i to aktiviteter og noen i alle tre aktivitetene. Idrettsklubben har totalt $250$ medlemmer.

Tabellen nedenfor viser hvor mange medlemmer som deltar i hver aktivitet.

Aktivitet	Medlemmer
Fotball	$200$
Håndball	$90$
Basketball	$40$

a)

Tegn et venndiagram som vist nedenfor. Gjør beregninger, og sett inn tallene som mangler.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi må huske hvordan venndiagram fremstiller informasjon.

Vi skal fylle inn i venndiagrammet. Når vi ser på venndiagrammet ser vi at for håndball mangler vi de medlemmene som spiller både håndball og basket.

Vi vet at det totalt er $90$ medlemmer som spiller håndball og ved å subtrahere det antallet som spiller alle tre idrettene, kun håndball og håndball og fotball kan vi regne ut at antall medlemmer som spiller både håndball og basket er $90 - 35 - 30 - 10 = 15$ Det er 15 medlemmer som spiller håndball og basket.

Totalt er det $250$ medlemmer i klubben, av disse er $90$ fordelt i venndiagrammet. Da har vi $250 - 90 = 160$ medlemmer som skal fordeles på fotball og basket.

Det er 200 medlemmer som spiller fotball, og av disse har vi fordelt de som spiller håndball og de som spiller alle tre idrettene. Gjenstående medlemmer som spiller enten kun fotball eller fotball og basket er

$200 - 35 - 10 = 155$

Gjenstående medlemmer som skal fordeles som spiller basket er

$40 - 10 - 15 = 15$

Vi har 160 medlemmer som skal fordeles på de siste plassene, hvor 155 skal være innenfor fotball og 15 skal være innenfor basket. Noen av disse spiller både fotball og basket, og for at det totalt skal være 160 medlemmer må 10 av dem spille begge idrettene. Da har vi at 155-10=145 spiller kun fotball, og 15-10 = 5 spiller kun basket.

Svar:

Mer om:

Denne oppgaven er om venn-diagram.

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Venn-diagram og mengdelære.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om mengdelære fra Treningsleiren.

b)

Vi skal velge et medlem tilfeldig fra klubben.

Bestem sannsynligheten for at vi kommer til å velge et medlem som deltar i alle tre aktivitetene.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi kan bruke venndiagrammet for å finne sannsynligheten.

Vi velger et tilfeldig medlem, og skal finne sannynligheten for at vi velger et medlem som deltar i alle tre aktivitetene. Fra venndiagrammet kan vi se at gunstige utfall, antall medlemmer som deltar i alle tre aktivitetene er $10$ . Antall mulige utfall er alle medlemmene i klubben, som er $250$ . Sannsynligheten blir

$P (F \cap H \cap B) = \frac{antall gunstige}{antall mulige} = \frac{10}{250} = \frac{1}{25} = \frac{4}{100} = 4 %$

Svar: Sannsynligheten er $\frac{1}{25}$ eller $4$ %.

Mer om:

Denne oppgaven er om uniform sannsynlighet.

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Hvordan finner vi uniform sannsynlighet?.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om uniform sannsynlighet fra Treningsleiren.

c)

Tenk deg at vi har valgt et medlem som spiller håndball.

Bestem sannsynligheten for at dette medlemmet også spiller fotball.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi kan bruke venndiagrammet.

Vi har valgt et medlem som spiller håndball og skal bestemme sannsynligheten for at dette medlemmet også spiller fotball. Antall mulige utfall er alle medlemmene som spiller håndball, som er 90.

Antall gunstige medlemmer er de som også spiller fotball. Dette inkluderer de medlemmene som spiller håndball og fotball og de medlemmene som spille alle tre idrettene. Antall gunstige medlemmer er

$35 + 10 = 45$ . $P (F | H) = \frac{antall gunstige}{antall mulige} = \frac{45}{90} = \frac{1}{2} = 50 %$

Svar: Sannsyligheten er $\frac{1}{2}$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om uniform sannsynlighet.

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Hvordan finner vi uniform sannsynlighet?.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om uniform sannsynlighet fra Treningsleiren.

Oppgave 5 (3 poeng) Nettkode: E-4QEU

En funksjon $f$ er gitt ved

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a x^{2} + a^{2} x$

Bruk CAS til å vise at grafen til $f$ har et terrassepunkt.

Bestem koordinatene til terrassepunktet uttrykt ved $a$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

I et terrassepunkt er den deriverte lik null og den deriverte vil ikke skifte fortegn.

Vi skal bruke CAS til å finne terrassepunktet til funksjonen $f (x)$ . Et terrassepunkt er et stasjonært punkt, altså er den deriverte lik $0$ , hvor den deriverte ikke skifter fortegn. Så for å vise at $f (x)$ har et terrassepunkt må vi finne når den deriverte er $0$ og vise at den deriverte ikke skrifter fortegn i dette punktet.
Vi begynner med å definere funksjonen og finne den derivere i CAS ved å skrive
$f (x) = 1 / 3 x^{\land} 3 - a * x^{\land} 2 + a^{\land} 2 * x$ og $f' (x)$ .

Videre kan vi finne den når $f' (x) = 0$ . Da skriver vi

Løs[f’(x)=0,x]

Nå vil CAS løse likningen $f' (x) = 0$ med hensyn på x.

Da får vi at $f' (x) = 0$ når $x = a$ . Den deriverte er et andregradsfunksjon med bare en rot. Det betyr at den kan faktoriseres og skrives som $f' (x) = (x - a) (x - a) = (x - a)^{2}$ . Uansett for hvilken $x$ vi velger ulik $a$ , om den er større eller mindre enn $a$ , vil vi ha at funksjonen $f' (x)$ er positiv, og skifter altså ikke fortegn. Det betyr at $x = a$ gir et terrassepunkt.

Nå skal vi bestemme koordinatene i terrassepunktet. Vi har funnet at $x$ -koordinaten må være $a$ , så da må vi ha at punktet er på formen $(a, f (a))$ . For å finne $y$ -koordinaten må vi regne ut $f (a)$ . Til det kan vi bruke CAS. Da skriver vi inn “f(a)”, og får at $f (a) = \frac{1}{3} a^{3}$ .

Terrassepunktet har altså koordinater $(a, \frac{1}{3} a^{3})$ .

Svar: Koordinatene til terrassepunktet er $(a, \frac{1}{3} a^{3})$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Terassepunkt

Et terassepunkt for en funksjon $f (x)$ er et stasjonært punkt $a$ (et punkt der den deriverte er null), som verken er et topp- eller bunnpunkt.

terassepunkt

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Topp- og bunnpunkter.

Oppgave 6 (4 poeng) Nettkode: E-4QEW

Gitt $□ A B C D$ ovenfor.

a)

Vis at $C D = \frac{\sqrt{3}}{2} a$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

I $Δ B C D$ har vi fått oppgitt vinkler på $90^{\circ}$ og $30^{\circ}$ , som betyr at den siste vinkelen er $60^{\circ}$ . I en $30 - 60 - 90$ trekant har vi at hypotenusen er dobbelt så lang som korteste katet. Vi kan bruke dette, og Pytagoras læresetning for å finne lengden til $C D$ .

Summen av vinklene i en trekant er $180^{\circ}$ . I $Δ B C D$ har vi at $∠ B C D = 90^{\circ}$ og $∠ B D C = 30^{\circ}$ , som betyr at $∠ C B D = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ . I en trekant med vinkler på $90^{\circ}$ , $60^{\circ}$ og $30^{\circ}$ vil hypotenusen, $B D = a$ , være dobbelt så lang som korteste katet, $B C = \frac{a}{2}$ . Nå har vi uttrykk for $B D$ og $B C$ , og siden trekanten er rettvinklet kan vi bruke Pytagoras læresetning til å finne et uttrykk for $C D$ .
Vi må ha at

$\begin{matrix} B D^{2} & = & B C^{2} + C D^{2} \\ C D^{2} & = & a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2} \\ C D^{2} & = & a^{2} - \frac{a^{2}}{4} \\ C D & = & \sqrt{\frac{3 a^{2}}{4}} \\ C D & = & \frac{\sqrt{3} a}{2} \end{matrix}$

som var det vi ville vise.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er rett, altså 90 grader.

rettvinklede trekanter

Pytagoras læresetning

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Trekanter.

b)

Vis at arealet av $□ A B C D$ er $\frac{1}{8} a^{2} (2 \sqrt{3} + 1)$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

For å finne arealet til firkanten kan vi felle en normal fra $D$ ned på $A B$ . Da får vi et rektangel og en trekant som vi kan finne arealet av, og for å finne arealet til $▫ A B C D$ kan vi summere samme de to arealene.

Vi begynner med å felle en normal fra $D$ ned på $A B$ , og kaller skjæringspunktet mellom normalen og $A B$ for $E$ . For å lettere se, tegner vi en hjelpefigur.

Vi har $Δ B E D$ , som er en rettvinklet trekant med $∠ B E D = 90^{\circ}$ . Det betyr at $∠ B D E = 60^{\circ}$ , og at $∠ C D E = ∠ C B E = 30^{\circ} + 60^{\circ} = 90^{\circ}$ , altså har vi et rektangel $B C D E$ . Fra a) vet vi at lengden $C D = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ og bredden $B C = \frac{1}{2} a$ .

Arealet til et rektangel er gitt ved $A = l \cdot b$ , der $l$ er lengden og $b$ er bredden. Da har vi at rektangelet har areal

$A_{R} = C D \cdot B C = \frac{\sqrt{3}}{2} a \cdot \frac{1}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$

Nå må vi finne arealet til $Δ A E D$ . Vi kan begynne med å bestemme $∠ A D E$ . Vi må ha at

$∠ A D E = ∠ A D B - ∠ B D E = 105^{\circ} - 60^{\circ} = 45^{\circ}$ ,

og da må $∠ D A E = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$ , så vi har en likebeint trekant, der grunnlinja $A E$ og høyden $D E$ er like.

Fra rektangelet har vi at $B C = D E = \frac{1}{2} a$ , og nå kan vi finne arealet til trekanten ved formelen $A = \frac{g \cdot h}{2}$ , der $g$ er grunnlinje og $h$ er høyde. Setter vi da inn for $A E$ og $D E$ får vi

$A_{T} = \frac{A E \cdot D E}{2} = \frac{\frac{1}{2} a \cdot \frac{1}{2} a}{2} = \frac{1}{8} a^{2}$

Nå kan vi regne arealet til hele firkanten ved å summere sammen arealet til rektangelet $B C D E$ og $Δ A E D$ . Da får vi

$\begin{matrix} A & = & A_{R} + A_{T} \\ = & \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} + \frac{1}{8} a^{2} \\ = & \frac{2 \sqrt{3}}{8} a^{2} + \frac{1}{8} a^{2} \\ = & \frac{1}{8} a^{2} (2 \sqrt{3} + 1) \end{matrix}$

som var det vi ville vise.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekanter

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Tom forteller om areal.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om areal fra Treningsleiren.

MAT1013 2016 Høst

Del 1

Del 2

Eksamensinformasjon

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (2 poeng) Nettkode: E-4QCV

Løsningsforslag

Ligningssett

Ligning

Ligningssett

Oppgave 2 (2 poeng) Nettkode: E-4QCX

Løsningsforslag

Felles faktor

Andre kvadratsetning

Konjugatsetningen

Oppgave 3 (2 poeng) Nettkode: E-4QCZ

Løsningsforslag

Fortegnsskjema

Oppgave 4 (2 poeng) Nettkode: E-4QD1

Løsningsforslag

Logaritme

Ligning

Oppgave 5 (1 poeng) Nettkode: E-4QD3

Løsningsforslag

Potens

Potens

Ligning

Oppgave 6 (2 poeng) Nettkode: E-4QD5

Løsningsforslag

Potens

Rot

Oppgave 7 (2 poeng) Nettkode: E-4QD7

Løsningsforslag

Faktorisering

Fellesnevner

Andregradsuttrykk

abc-formelen

Oppgave 8 (2 poeng) Nettkode: E-4QD9

Løsningsforslag

Funksjon

Graf

Nullpunkt

Oppgave 9 (8 poeng) Nettkode: E-4QDB

a)

Løsningsforslag a)

Nullpunkt

Nullpunkt

b)

Løsningsforslag b)

Funksjon

Algebra

c)

Løsningsforslag c)

Derivasjon

Fortegnsskjema

Ekstremalpunkt

d)

Løsningsforslag d)

Tangent

Stigningstall

Tangent

Lineære funksjoner

Stigningstall

e)

Løsningsforslag e)

Derivasjon

Stigningstall

Parallell

Oppgave 10 (2 poeng) Nettkode: E-4QDH

Løsningsforslag

Pytagoras læresetning

Oppgave 11 (1 poeng) Nettkode: E-4QDP

Løsningsforslag

Trigonometri

Sinus

Cosinus

Tangens

Oppgave 12 (3 poeng) Nettkode: E-4QDX

a)

Løsningsforslag a)