Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Substitusjonsmetoden

Substitusjonsmetoden er en av flere metoder vi bruker når vi skal løse et likningssett. Ordet substituere betyr erstatte eller sette istedet for.

Steg for steg:

Vi har to likninger med de samme to ukjente, x og y. Substitusjonsmetoden har tre steg:

  1. Velg en av likningene. Løs denne likningen med hensyn på en av ukjente (for eksempel y). Dette betyr at vi får y alene på venstresiden av likhetstegnet.
  2. Erstatt y -en i den andre likningen med det du fant i punkt 1. Løs likningen og finn verdien til x.
  3. Sett inn i det første uttrykket inn for x og regn ut verdien til y.

Legg merke til at du selv velger hvilken likning du ønsker å begynne med. Det er også du selv som velger hvilken ukjent du ønsker å løse likningen med hensyn på.

Eksempel 1.

Løs likningssettet

 4x3y=15   (1)5x+y=16   (2) 

1. Når vi ser på likningene, ser vi at i likning (2) har vi ett ledd med kun y. Derfor velger vi å løse likning (2) med hensyn på y. Vi legger til 5x på begge sider av likningen.

 5x+y+5x=16+5xy=16+5x 

2. Nå kan vi sette uttrykket for y i likning (1). Vi løser likningen.

 4x3(16+5x)=15 

 4x+4815x=15 

 11x+48=15 

 11x+4848=1548 

 11x=33 

 11x11=3311 

 x=3 

3. Nå setter vi inn for x i y=16+5x.

 y=16+53=16+15=1 

Løsningen til likningssettet er (x,y)=(3,1).

Eksempel 2.

La oss løse likningssettet ved hjelp av substitusjonsmetoden.

y=6x+120(1)y=3x+150(2)

Her har vi allerede y alene på venstresiden både i likning (1) og i likning (2). For at likningssettet nå skal ha en entydig løsning må nødvendigvis de to uttrykkene for y være like. Derfor setter vi den første likningen, (1), og den andre likningen, (2), lik hverandre slik:

 y=y

I likning (1) er høyresiden lik 6x+120 og i likning (2) er den lik 3x+150. Vi løser likningen med hensyn på x:

6x+120=3x+1506x3x=1501203x=30 

Løsningen er x=10.

Vi setter x=10 enten inn i likning (1) eller i likning (2). Vi velger likning (1). Dette gir

y=610+120=60+120=180

Løsningen på likningssystemet er punktet (x,y)=(10,180).

Begrep

  • Ligning

    En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

    Eksempel: 2x+8=14

  • Ligningssett

    Et ligningssett er to eller flere ligninger med to eller flere ukjente.

  • Likhetstegn

    Likhetsteget har symbolet "=".

    Likhetstegnet forteller at det som står til venstre for likhetstegnet har samme verdi som det som står til høyre.

    Eksempel: 6+4=52

  • Variabel

    En bokstavbetegnelse på et vilkårlig element i en mengde. Det motsatte er en konstant. I uttrykket y = 10x er 10 en konstant og x en variabel. y er en annen variabel, avhengig av x.