Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Fortegnslinja 3 - funksjoner bestående av flere faktorer

Hvis en funksjon består av flere uttrykk multiplisert sammen, kan det være vanskeligere å se direkte monotoniegenskapene til funksjonen. Da lager vi en fortegnslinje for hvert av uttrykkene og bruker reglene for fortegn ved multiplikasjon til å finne fortegnslinja til hele uttrykket etterpå.

La oss tegne fortegnslinja til funksjonen fx=x-33x+9. Først tegner vi fortegnslinja til hver av faktorene x-3 og 3x+9, og så setter vi disse sammen til fortegnslinja til hele funksjonen.

Til dette bruker vi fortegnsreglene for multiplikasjon/divisjon:

            ++=+              +-=-

            --=+              -+=-

 

Vi begynner med å finne nullpunktet til x-3:

x-3=0

x=3

x-3 har x=3 som eneste nullpunkt. Vi ser også at x-3 er positiv når x er større enn 3 x>3 og negativ når x er mindre enn 3 (x<3).

Vi finner nå nullpunktet til 3x+9:

 3x+9=0

3x=-9

x=-3

3x+9 har x=-3 som eneste nullpunkt. Vi ser også at 3x+9 er positiv når x er større enn -3 (x>-3) og negativ når x er mindre enn -3 (x<-3).

Vi kan nå finne tallinja til fx. Siden x-3 og 3x+9 er faktorer i fx, er deres nullpunkter også nullpunkter i funksjonen, så vi tegner inn de samme nullpunktene. Så bruker vi fortegnsreglene for multiplikasjon/divisjon til å finne fortegnet mellom nullpunktene:

Begge linjene viser negativ verdi                           funksjonen får positiv verdi

En linje viser positiv, den andre negativ                 funksjonen får negativ verdi

Begge linjene viser positiv                                      funksjonen får positiv verdi

 

Eksempel 1

Oppgave. Finn fortegnslinja til

fx=x+42x-3.

Løsning. Vi ser på teller og nevner for seg og lager fortegnslinja til fx ved å sette de to sammen.

x+4 har nullpunkt x=-4 og er positiv for x større enn -4 (x>-4) og negativ for x mindre enn -4 (x<-4).

3-2x har nullpunkt x=32 og er positiv for x mindre 32 (x<32) og negativ for x større enn 32 (x>32).

Husk: Når nevneren er 0, er funksjonen mest sannsynlig ikke definert. Det eneste tilfellet der funksjonen fremdeles er definert når nevneren er null, er hvis telleren også er null.

I vårt tilfelle er ikke telleren 0, og fx er ikke definert i nullpunktet til nevneren 2x-3. Bortsett fra dette gjør vi det samme som før:

 

Eksempel 2

Oppgave. Lag fortegnslinja til fx=x3-xex.

Løsning. Funksjonsuttrykket til fx er lik produktet av faktorene

x, 3-x og ex.

x har nullpunkt i x=0, 3-x i x=3, mens ex alltid er positiv. Vi lager en fortegnslinje for hver av dem, og tegner dem i samme skjema (se figuren under). Til slutt tegner vi fortegnslinja til fx nederst ved å bruke fortegnsreglene. For eksempel blir fx negativ på intervallet -,0, fordi der er x negativ, mens de to andre faktorene er positive.