n^2 + 89 blir et kvadrattall

Hei!

Kan du hjelpe meg med denne?

La $n$ være et positivt, helt tall.
a) Vis at det bare fins én verdi av $n$ slik at $n^2+89$ blir et kvadrattall.
b) Finn denne verdien av $n$.

Differensen mellom to påfølgende kvadrattall er et oddetall og det øker med 2 fra differense til differense, $4-1=3,9-4=5,16-9=7,$ osv. hvor  $\frac{3-1}{2}=1$,$\frac{5-1}{2}=2$,$\frac{7-1}{2}=3$, osv.

Det betyr at i ditt tilfelle, hvor du leter etter to kvadrattall med differense 89, så er størst mulig verdi av det største tallet halvparten av $89-1$, dvs. 44, pluss 1, altså 45. Så vi trenger altså bare å sjekke opp til 452 og vi får at differansen mellom 452 og 442 er 89.

Anta nå at $n^2+89$ er et kvadrattall. Vi skriver det som ${(n+k)}^2=n^2+89$. Det betyr at vi leter etter et helt positivt tall k slik at $2kn+k^2=89$. Det betyr $2kn+k^2=k(2n+k)=89$. Men siden 89 er et primtall, må $k=1$, som vi allerede har sett på. Dermed har vi kun en mulighet, som var akkurat det vi skulle vise.