Tallet e opphøyd i den ukjente x

Hvordan løser jeg denne oppgaven $e^x-2e^{-x}=1$?

Dette er en eksponentiallikning, altså den ukjente er i eksponenten.

1) Husk at

$e^{-x}=\frac{1}{e^x}$

og bruker vi dette i likningen, ser den ut på følgende måte

$e^x-\frac{2}{e^x}=1$

2) Multipliser alle ledd på begge sider av likningen med e^x og forkort.

$e^x\cdot e^x-\frac{2}{e^x}\cdot e^x=1\cdot e^x$

$e^{2x}-2=e^x$

3) Trekk fra e^x fra begge sider av likningen slik at alle ledd står på høyre siden av likningen. 

$e^{2x}-e^x-2=0$

4) La $u=e^x$

$u^2-u-2=0$

Dette er en vanlig annengradslikning der $u$er den ukjente.

5) Løs andregradslikningen med hensyn på $u$.

$u_1=2,u_2=-1$

6) Sett inn svarene for $u_1$ og $u_2$ i $u=e^x$

• $u_1=2$:
  
  $e^x=2$
  Løs likningen med hensyn på $x$.
  
  $\ln e^x=\ln 2$
  $x\cdot \ln e=\ln 2$ (husk at $\ln e=1$)
  $x=\ln 2$
• $u_2=-1$:
  
  $e^x=-1$
  $e^x$ er alltid positiv og derfor er $u_2$ ikke en gyldig løsning.

Svar: $x=\ln 2$.