Ta logaritmen på begge sider

Har ei oppgave jeg lurer på. Den er

${\left(\frac{1}{3}\right)}^x=9^{2x+4}$

Kunne dere hjulpet meg med den?

Mvh. Jan Erik

Først en litt "triksete" løsning: Det hjelper at $\frac{1}{3}=3^{-1}$ og $9=3^2$. Da ser vi at vi får

$3^{-x}=3^{4x+8}$. Siden $3^t$ er voksende, det vil si at den ikke har samme verdi flere ganger, vet vi at eksponentene er like, så vi får en likning i disse:

$-x=4x+8$. Det er greit å løse denne og få at $x=-\frac{8}{5}$.

For en mer generell metode løser vi slike oppgaver ved å ta logaritmen på begge sider og bruke regneregler, på følgende måte:

$\ln \left({\left(\frac{1}{3}\right)}^x\right)=\ln \left(9^{2x+4}\right)$,

$x\hspace{0.17em}\ln \left(\frac{1}{3}\right)=(2x+4)\hspace{0.17em}\ln \left(9\right)$,

$x\hspace{0.17em}=(2x+4)\cdot \frac{\ln \left(9\right)}{\ln \left(\frac{1}{3}\right)}$. På kalkulator kan vi finne at brøken gir oss $-2$, og derfra får vi samme likning som over.