Logaritmer

Hvordan løser jeg denne oppgaven?

Finn uttrykt ved$\lg 2$ og$\lg 3$.
a)$\lg 6$.
b)$\lg 18$.
c)$\lg \frac{2}{3}$.
d)$\lg \frac{4}{9}$.

For å kunne løse disse oppgavene, trenger vi regneregler for logaritmer:

1) $\lg (a\cdot b)=\lg a+\lg b$

2)$\lg \frac{a}{b}=\lg a-\lg b$

3)$\lg a^b=b\cdot \lg a$

a) lg 6:

Vi vet at 6 er produktet av 2 og 3 og vi bruker regel 1).

$\lg 6=\lg (2\cdot 3)=\lg 2+\lg 3$

Svar:$\lg 6=\lg 2+\lg 3$

b) lg 18:

Faktoriserer tallet 18 og bruk regel 1).

$18=2\cdot 9=2\cdot 3\cdot 3$

$\lg 18=\lg (2\cdot 3\cdot 3)=\lg 2+\lg 3+\lg 3=\lg 2+2\cdot \lg 3$

$\lg 18=\lg 2+\lg 3+\lg 3$Svar:$\lg 18=\lg 2+2\lg 3$

Alternativt: bruk regel 1) og 3)

$18=2\cdot 9=2\cdot 3^2$

$\lg 18=\lg (2\cdot 3^2)=\lg 2+\lg 3^2=\lg 2+2\cdot \lg 3$

c)$\lg \frac{2}{3}$:

Regel 2) gir oss svaret.

Svar:$\lg \frac{2}{3}=\lg 2-\lg 3$

d)$\lg \frac{4}{9}$:

Faktoriser tallene 4 og 9 og bruk begge regel 1) og 2).

$4=2\cdot 2,9=3\cdot 3$

$\lg \frac{4}{9}=\lg 4-\lg 9=\lg (2\cdot 2)-\lg (3\cdot 3)=\lg 2+\lg 2-(\lg 3+\lg 3)=2\cdot \lg 2-2\cdot \lg 3$

Svar: $\lg \frac{4}{9}=2\lg 2-2\lg 3$

Alternativt: bruk regel 2) og 3)

$\lg \frac{4}{9}=\lg 4-\lg 9=\lg 2^2-\lg 3^2=2\cdot \lg 2-2\cdot \lg 3$