Perfekte tall

Kva er dei 15 første perfekte tallene?

Alle tall som jeg skriver om her, er hele, positive tall større enn 0. Vi begynner med å se på definisjonene på en ekte divisor og et perfekt tall.

Det betyr at svaret i delestykket med et tall og en ekte divisor, vil alltid være et heltall.

Eksempel 1
1,2 og 3 er de positive, ekte divisorene i 6 og fordi

 $6=2\cdot 3$ 

så er 6 et perfekt tall.

Eksempel 2
1,2,4,7 og 14 er de positive, ekte divisorene i 28 og fordi 

 $28=2^2\cdot 7$ 

så er 28 et perfekt tall.

Et primtall er et tall som har 1 som eneste ekte divisor. Tallet 1 er ikke primtall, men det regnes (sammen med -1) som en enhet. Du kan bygge alle heltallene fra primtall og enheter, ved å gange sammen.

I en veldig gammel matematikkbok, Euklids elementer (bok IX, proposisjon 36), fins et bevis for at om

 $2^n-1$

er et primtall (det vi idag vil kalle et Mersenne primtall), så er

 $2^{n-1}(2^n-1)$

et perfekt tall. En matematiker som het Euler viste at disse er alle de jamne perfekte tallene (jamne tall = partall). De 15 første Mersenne-primtallene er gitt ved n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279.

De 12 første perfekte tallene kommer fra disse, siden det er vist at et odde, perfekte tall må være større enn 10³⁰⁰.