Utregningen av Pi etter Gregory

Hei.

Vi arbeider for tiden med$\pi$ på skolen i matten. Der skal vi finne ut andre metoder enn Arkimedes' til å regne ut$\pi$. Jeg har funnet en som jeg synes virker interessant, som Gregory (1661-1708) kom fram til.

Det er en uendelig rekke som begynner slik:

$4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}+\frac{4}{13}-\frac{4}{15}+\frac{4}{17}-\frac{4}{19}+\frac{4}{21}\mathrm{...}$

Jeg har funnet formelen til leddene i denne, som er

$\frac{(4\cdot {(-1)}^n)}{2n+1}$,

der n er større enn eller lik null.

Kan dere være behjelpelige med å forklare meg hvorfor denne rekken nærmer seg$\pi$ når du begynner å få med nok desimaler?

Du lager en potensrekke av rekken, dvs. ser på

$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{4\cdot {(-1)}^n\cdot x^{2n+1}}{2n+1}$

Kall denne funksjonen i x for f(x). Hvis du nå deriverer, får du rekka

$\sum _{n=0}^{\infty }4\cdot {(-1)}^n\cdot x^{2n}$

som er lik

$4\cdot \frac{1}{1+x^2}$

(i sitt konvergensintervall). Men det betyr at den opprinnelige rekka er en antiderivert av denne, og det kjenner vi igjen som

$4\cdot {\tan }^{-1}\left(x\right)$.

Setter vi inn x = 1 i denne får vi den aktuelle alternerende rekka. Men

$4\cdot {\tan }^{-1}\left(1\right)=4\cdot \frac{\pi }{4}=\pi$, og dermed ser vi at den alternerende rekka har summen $\pi$ som ønsket.