Minus og minus blir pluss

Hvordan kan vi forklare at "minus og minus blir pluss" jfr.$-(-3)=3$ eller at$(-2)\cdot (-2)=4$.

Dette er vanskelig, og et godt eksempel på at det er lettere å pugge gangestykker enn å forstå dem. Nå kjenner ikke jeg din bakgrunn, og vet heller ikke om du ønsker å videreformidle forklaringen så jeg må også prøve meg fram.

En mulig forklaring er:

$(1+(-1\left)\right)\cdot (1+(-1\left)\right)=0\cdot 0=0$.

Bruker vi første kvadratsetning får vi derfor at

$1\cdot 1+2\cdot 1\cdot (-1)+(-1)\cdot (-1)=0$, det vil si at $(-1)\cdot (-1)=1$.

Eller denne: Betrakt det å gange med -1 som å skifte tegn, f.eks. $-1\cdot 100=-100$. Da har vi at $(-1)\cdot (-1)\cdot 100$ er å skifte tegn på 100 to ganger, dvs. vi får 100.

Eller den formelle: -1 er den additive inversen til 1, dvs. det tallet vi må legge til 1 for å få 0 (det er faktisk definisjonen av -1), med andre ord $1+(-1)=0$.

Bruker vi den distributive loven får vi at

$0=(-1)\cdot 0=(-1)\cdot (1+(-1\left)\right)=(-1)\cdot 1+(-1)\cdot (-1)$.

Men $a\cdot 1=a$ for alle tall $a$, dvs at $(-1)\cdot 1=-1$. Dermed har vi at

$0=-1+(-1)\cdot (-1)$. Men siden -1 er den additive inversen til 1 og additive inverser er entydige, så må

$(-1)\cdot (-1)=1$.