Eksakt verdi for cos(pi/8) fra halvvinkelformel

Finn eksakt verdi for$\cos \left(\frac{\pi }{8}\right)$ utifra likninga:

$\cos \left(v\right)=\pm \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\cdot \sqrt{\cos \left(2v\right)+1}$

Kjære orakel, skulle så gjerne hatt heile oppgåveløysinga =)

En av formlene for cosinus til den doble vinkelen er

$\cos \left(2v\right)=2{(\cos (v\left)\right)}^2-1$ som blir din formel når vi løser for$\cos \left(v\right)$:

$\cos \left(v\right)=\pm \sqrt{\frac{1}{2}(\cos (2v)+1)}$

Vi husker at$\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, og så setter vi inn$\frac{\pi }{8}$ for$v$ i denne formelen:

 $\cos \left(\frac{\pi }{8}\right)=\pm \sqrt{\frac{1}{2}\cdot (\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)+1)}$,

$=\pm \sqrt{\frac{1}{2}\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2}{2})}$,

$=\pm \sqrt{\frac{1}{4}(\sqrt{2}+2)}$,

$=\pm \frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+2}$.

Nå kan du finne ut hvilket fortegn du skal ha på vanlig måte.