Funksjon med delt forskrift

Hei, mange år siden jeg har brynt meg på matte.

Hvordan blir funksjonen av: 1 enhet koster kr 25,- inntil 12000 enheter, for overskytende enheter reduseres prisen med 3% for hver 1000 enheter. dvs 14000 enheter:$(12000\cdot 25)+\left(\right(1000\cdot 25)-3\%)+\left(\right((1000\cdot 25)-3\%)-3\%)$.

Hvordan uttrykker jeg dette som en funksjon?

På forhånd takk.

Mvh Vidar

En funksjon tilordner et tall til et tall. Det er vanlig å gi funksjoner med en regneregel som gir verdien (utput) ved et eller flere uttrykk som avhenger av punktet (input). I ditt tilfelle er det snakk om flere, det som kalles delt forskrift. Du er etter funksjonen som tar tallet antall enheter til tallet pris.

Hvis funksjonen heter $f$, skriver vi

$f=ℝ\to ℝ$ ($f$ er en funksjon fra tall til tall)

$x\mapsto f\left(x\right)$ ($x$ sendes på $f\left(x\right)$)

der

$f\left(x\right)=25x$  for$x\le 12000$,

$f\left(x\right)=25\cdot 12000+25\cdot (1-3\%)(x-12000)$ for $12000<x\le 13000$,

$f\left(x\right)=25\cdot 12000+25\cdot 1000\cdot (1-3\%)+25\cdot {(1-3\%)}^2(x-13000)$ for $13000<x\le 14000$,

og så videre. Vi observerer at $1-3\%=0.97$ og ganger ut uttrykkene over, da kan vi skrive som følger:

$f\left(x\right)=25x$ for $0\le x\le 12000$,

$f\left(x\right)=300000+25\cdot 0.97(x-12000)$ for $12000<x\le 13000$,

$f\left(x\right)=300000+24250+25\cdot {0.97}^2(x-13000)$ for $13000<x\le 14000$,

$f\left(x\right)=300000+24250+23522.5+25\cdot {0.97}^3(x-14000)$ for $14000<x\le 15000$, og så videre...

Som du ser kommer det ikke til å bli veldig enkle og fine uttrykk ut av dette, men det finnes et lite triks vi kan bruke. Generelt vet vi at

$1+y+y^2+\mathrm{...}+y^{n-1}=\frac{y^n-1}{y-1}$, og spesielt er da

$1+0.97+0.{97}^2+\mathrm{...}+{0.97}^{n-1}=\frac{{0.97}^n-1}{0.97-1}$.

Hvis vi lar $n$ være antall tusen $x$ er mer enn 12 000, sånn at $(12+n)\cdot 1000<x\le (13+n)\cdot 1000$  ser vi fra diskusjonen over at

$f\left(x\right)=275000+25000\cdot 1+25000\cdot 0.97+\mathrm{...}+25000\cdot {0.97}^n+25\cdot {0.97}^{n+1}(x-(12+n)\cdot 1000)$.

Med rekketrikset over kan vi trekke sammen dette og få at om $x$ er større enn 12 000 er

$f\left(x\right)=275000+25000\cdot \frac{{0.97}^{n+1}-1}{0.97-1}+25\cdot {0.97}^{n+1}(x-(12+n)\cdot 1000)$ der $n$ er et positivt heltall slik at $(12+n)\cdot 1000<x\le (13+n)\cdot 1000$.

Som sagt er det ikke lett å få en slik funksjon til å se pen ut, dette er nok omtrent det beste man kan gjøre med den.