Gyllent rektangel, finn side når arealet er oppgitt

Hei. Arealet av et gyllent rektangel er ${10,94 cm}^2$. Hvor lange er hver av sidene?

Et gyllent rektangel er en rett firkant der forholdet mellom sidene er det gylne snitt. Det gylne snitt er forholdet mellom side og diagonal i en regulær femkant. Det gylne snitt er løsningen av likningen $x^2+x-1=0$, og det kalles ofte $\phi$. Verdien er$\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx \mathrm{1,618}$.

Arealet av et rektangel er lengde ganger bredde. Vi kaller en side for $a$ og den andre for $b$, da er arealet $ab$. Vi antar at $a>b$, siden det ikke har noe å si hva vi kaller hvilken side er dette uproblematisk. Da er $\frac{a}{b}=\phi$, så $a=\phi b$. Vi kaller arealet for $A$, og da er

$A=ab=\phi b^2$. Vi dropper benevninger i videre utregninger, alle lengder er i centimeter:

$\mathrm{10,94}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}{b}^2$, så da er

$b=\sqrt{\frac{\mathrm{10,94}}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}}$ .

(Den negative roten er ikke løsningen, så klart - lengder er positive). Dette gir oss cirka 2,6 cm, og nå kan vi sette inn for å finne$a$:

$a\approx \frac{1+\sqrt{5}}{2}\mathrm{2,6}\approx \mathrm{4,2}$.

Så den korte siden er 2,6 cm, og den lange er 4,2 cm.

Vi merker oss at som en bekreftende prøve er

$\mathrm{4,2}\cdot \mathrm{2,6}=\mathrm{10,92}$, og $\frac{\mathrm{4,2}}{\mathrm{2,6}}\approx \mathrm{1,615}$. Dette er så nært at feilen må være avrunding (som er vanskelig å unngå for å få desimalsvar når vi har med kvadratrøtter).