Sum av oddetall, og produkt av primtallstvillinger

Jeg har to spørsmål.

For det første: Hvordan kan man forklare at når man adderer to oddetall får man alltid partall?

Og: Når produktet av to primtallstvillinger + 1 gir tallene 16, 36, 144, 324 og 900 (de fem første primtallstvillingene), hva er mønsteret og hvordan kan man gi en generell forklaring på dette?

Til det første: Oddetall er ikke delelige med 2, de har rest 1 når du deler med 2, så de kan skrives$2k+1$ for en k vi ikke vet mer om. La m og n være de to oddetallene:$m=2k+1$,$n=2k^{\prime }+1$. Da er

$m+n=2k+2k^{\prime }+2=2(k+k^{\prime }+1)$, som kan deles på 2, og dermed er et partall.

Til det andre: Tvillingprimtall er to påfølgende oddetall som begge er primtall. Så imellom ligger et partall, kall det x. Paret er da $x-1$ og $x+1$, og produktet deres er$(x-1)(x+1)=x^2-1$ ved tredje kvadratsetning. Om vi legger en til produktet får vi dermed$x^2$, som er et kvadrat av et partall. De første fem parene med tvillingprimtall er 3 og 5, 5 og 7, 11 og 13, 17 og 19, 29 og 31. Det gir

$x=4,6,12,18,30$, og

$x^2=16,36,144,324,900$ som du skriver.