moholdt.mia.elizabeth@gmail.com

Hei, jeg har en oppgave som jeg sitter fast på. Oppgaven sier at i koordinatsystemet er det tegnet grafen til funksjonen f gitt ved f(x)=9-x^2
Punktene A(-3,0), B(3,0), C(x,f(x)) og D(-x,f(-x)) danner et trapes når 0<x<3.

oppgaven spør om:
a) Vis at arealet F av trapeset ABCD er gitt ved, F(x)=x^3-3*x^2+9*x+27, 0<x<3
b) Bestem det største arealet trapeset kan ha.

Jeg er usikker på hvordan jeg skal starte på oppgaven, så jeg lurte på om det var mulig å få hjelp med det.

Arealet av et trapes er, som du sikkert ved, gitt ved $\frac{a+b}{2}\cdot h$

der a og b er parallelle linjestykker. I vårt tilfelle vil a = AB være ett av de linjestykkene, og b = CD er det andre. Hvordan vet vi at de er parallelle? Det er fordi f(x) har egenskapen at for alle x er f(x) = f(-x). Det kommer av at 9-x² = 9-(-x)². 

Vi har at a = AB = 3-(-3) = 6 og b = CD = x-(-x) = 2x.

Høyden av trapeset er y-verdien til punktene C og D, som jo er nettopp funksjonsverdien f(x) (og f(-x)). Når vi setter dette inn i formelen øverst, får vi

$F\left(x\right)=\frac{a+b}{2}\cdot h=\frac{AB+CD}{2}\cdot f\left(x\right)=\frac{6+2x}{2}\cdot \left(9-x^2\right)=\left(3+x\right)\left(9-x^2\right)=27-3x^2+9x-x^3$

for 0<x<3. Du hadde glemt å skrive minustegn foran x³ i oppgave a :)

Det største arealet trapeset kan ha, kan vi finne ved derivasjon.

$F\left(x\right)=-x^3-3x^2+9x+27$

$F\text{'}\left(x\right)=-3x^2-6x+9$

Den største verdien for F(x) vil intreffe når F'(x) = 0.

(Her kunne vi selvfølgelig brukt andregradsformelen, hvis vi ønsket.) Vi får de mulige løsningene x = -3 og x = 1. Men x = -3 er ikke på definisjonsmengden. Det ville jo ikke gitt oss noe trapes. Det er altså x = 1 som gir oss det største trapeset. Du kan lage fortegnsskjema for -3(x+3)(x-1) for å vise at dette faktisk er et maksimum og ikke et minimum, men bare observasjonen om at x = 3 og x = 0 gir F = 0, sammen med at F er kontinuerlig, betyr at det må være et maksimum vi snakker om her.

For å finne maksarealet av trapeset, setter vi verdien vi nettopp fant, x = 1, inn den opprinnelige funksjonen F.

$F\left(1\right)=-1^3-3\cdot 1^2+9\cdot 1+27=32$