Temperaturendringer i vann fra kjøleskap

Hei, dette er en tekst oppgave som jeg sliter med.

Vi tar ut en vannflaske fra kjøleskapet og setter den på kjøkkenbenken. En modell for sammenhengen mellom temperaturen i vannet, y, målt i grader celsius, og antall minutter flasken har stått på benken, x, er gitt ved:

ln(1,23 - 0,061y) = - 0,072x

A) Hva er temperaturen i vannet når vi tar flasken ut av kjøleskapet?
B) Hva er temperaturen ti minutter senere?
C) Hva er temperaturen i rommet?

Jeg vet ikke hvordan jeg skal regne, eller forstå denne oppgaven :( trenger virkelig hjelp

En litt utfordrende tekstoppgave som krever at vi både skjønner modellering, men også hvordan eksponentialfunksjoner fungerer.

A) Her er det snakk om å finne verdien av y når x=0, for det er når x=0 vi tar flaska ut av kjøleskapet. For å gjøre det, må vi få y for seg selv på den ene siden av likhetstegnet. Vi må starte med å bli kvitt logaritmen, og det gjør vi ved å sette e som grunntall på begge sider.

ln(1,23 - 0,061y) = -0,072x

e^{ln(1,23 - 0,061y)} = e^-0,072x

Nå gir tredje logaritmesetning at

1,23 - 0,061y = e^-0,072x

Videre får vi

-0,061y = e^-0,072x - 1,23

y = (e^-0,072x - 1,23)/(-0,061)

Deler teller og nevner med -1.

y = (1,23 - e^-0,072x)/0,061

Og dette er sannsynligvis det enkleste formatet for uttrykket på høyre side.

Nå kan vi finne temperaturen idet vi tar ut flaska ved å sette inn x=0.

y(0) = (1,23 - e^-0,072·0)/0,061 = (1,23 - e⁰)/0,061

= (1,23 - 1)/0,061 = 0,23/0,061 ≈ 4

Flaska er omtrent 4 grader celsius idet vi tar den ut av kjøleskapet.

B) Nå er mesteparten av jobben gjort. Nå kan vi simpelthen sette inn x=10 i funksjonsuttrykket vi fant.

y(10) = (1,23 - e^-0,072·10)/0,061 ≈ 12

Etter 10 timer har flaska en temperatur på omtrent 12 grader celsius.

C) Dersom du har lært om grenseverdier, kan du sjekke grenseverdien av funksjonsuttrykket når x går mot uendelig. Uansett vet vi at e^-0,072x går mot 0 når x blir større og større, dvs. etter hvert som tiden går. Da går verdien av funksjonsuttrykket mot 1,23/0,061 ≈ 20. Altså er temperaturen i rommet omtrent 20 grader celsius.

Håper det hjalp!