Kryssmultiplisering

Hei, hva er kryssmultiplisering, og når kan det brukes?

Det er i hovedsak to ting som er aktuelt for oss. For det første er det i likninger på formen

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

Her mener jeg ikke at alle fire bokstavene representerer en ukjent. Hver bokstav representerer et uttrykk. Da sier kryssmuliplisering at vi kan gå rett fra en likning på denne formen, til a·d = b·c. Beviset for det er at vi har lov til å gange med det samme uttrykket på begge sider av en likning, og fortsatt opprettholde likheten. I vårt tilfelle, hvis vi ganger med både b og d på begge sider, får vi

$\frac{a}{b}\cdot b\cdot d=\frac{c}{d}\cdot b\cdot d$

Nå vil b-ene på venstre side forkortes og d-ene på høyre side forkortes, og vi står igjen med nettopp

$ad=bc$

Du ser hvorfor det heter kryssmultiplisering? Vi ganger a med d og c med b, som i et kryss over likhetstegnet.

Et eksempel:

$\frac{7}{2}=\frac{3x-2}{x-1} \Rightarrow 7\left(x-1\right)=2\cdot \left(3x-2\right) \Rightarrow 7x-7=6x-4 \Rightarrow 7x-6x=-4+7 \Rightarrow x=3$

Den andre tingen som er aktuelt, er når vi skal finne felles nevner ved summering av to brøker, eller subtraksjon av én brøk fra en annen. La meg vise deg det første eksempelet. Det siste er temmelig likt, bortsett fra én ting man må være obs på. Jeg kommer tilbake til det.

Regelen sier at 

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$

Resonnementet er egentlig veldig enkelt. Vi ganger teller og nevner i den første brøken med d og i den andre brøken med b. Nå har begge brøkene bd som nevner, og vi kan gjøre to brøker til én. Igjen, du ser at når vi i teller får ad+bc, blir det som et kryss, denne gangen over plusstegnet.

Når det står minus mellom brøkene, og c er et uttrykk som inneholder mer enn ett ledd, så må du tenke deg at det står en parentes rundt det uttrykket, slik at alle ledd i den telleren bytter fortegn. Et eksempel:

$\frac{2x-1}{3}-\frac{3x+2}{2}=\frac{\left(2x-1\right)\cdot 2-3\cdot \left(3x+2\right)}{3\cdot 2}=\frac{4x-2-9x-6}{6}=\frac{-5x-8}{6}=-\frac{5x+8}{6}$

Og du ser hva jeg gjorde i siste overgang? Da satte jeg minustegnet foran brøken igjen, og da må jeg på nytt snu alle fortegn i telleren.

Kryssmultiplisering er altså i praksis en slags aritmetisk (dvs. regnemessig) snarvei! Lykke til med å bruke den, og send gjerne flere spørsmål om det er noe du lurer på :)

Hilsen Orakel-Sindre.