Summeformel og geometriske rekker

Oppgavene skal løses ved hjelp av summeformelen for geometriske rekker. Når du bruker summeformelen skal du skrive opp hva k, n og a1 er, og noen få ord om hva disse tallene representerer i forhold til oppgaveteksten.
a) Foreldrene til Ada setter 4000 kr på en sparekonto hvert år på fødselsdagen hennes, første gang da hun fyller ett år og siste gang da hun fyller 20 år. Pengene blir stående på konto til Ada fyller 23 år. Dersom renten på kontoen er 3% i hele perioden, hvor mye står da på konto når Ada fyller 23 år?
b) Vi ser på samme spareplan som i a), men på 17 årsdagen tar Ada ut 30 000 kr fra kontoen som hun bruker på å ta førerkort. Hvor mye står da på konto når Ada fyller 23 år?

Forstår ikke!!

Først må vi være helt sikre på at vi har forstått spareplanen her. De 4000 kr som vi setter inn når Ada er 1 år, kommer til å forrentes i 22 år. Det betyr at verdien av dette beløpet vil være

4000 kr·1,03²²

på det tidspunktet.

Pengene vi setter inn på Adas andre bursdag vil forrentes i bare 21 år. Derfor vil det innskuddet være verdt 

4000 kr·1,03²¹

når Ada blir 23 år.

Tilsvarende blir det for resten av beløpene opp til og med det vi setter inn på 20-årsdagen hennes. Dette siste innskuddet vil forrentes i tre år. Altså må vi summere

4000 kr·1,03²² + 4000 kr·1,03²¹ + 4000 kr·1,03²⁰ + ... + 4000 kr·1,03⁴ + 4000 kr·1,03³

Så spør oppgaven etter hva som er a₁, k og i. Nå har det seg slik at formelen for summen av en endelig geometrisk rekke kan noteres på litt ulike måter. k er definitivt 1,03, for det er kvotienten. Ettersom det første leddet er betegnet med a₁ (og ikke a₀ som det gjøres noen ganger), antar jeg at formelen du er kjent med er

$a_1+a_{1}k+a_1{k}^2+...+a_1{k}^{n-1}=a_1\sum _{i=1}^n{k}^{i-1}$

Hvis vi skal la i starte på 1, så vil ikke a₁ være 4000, slik vi kanskje skulle tro, men i stedet 4000·1,03³ (som er omtrent 4371), for det er det første leddet i rekka over når vi leser den baklengs. Dette trekker vi utenfor summetegnet, og så deler vi alle leddene i rekka på 4000·1,03³. Da vil det første leddet i rekka være 1,03⁰, og siden 22-3 = 19, vil det siste leddet være 1,03¹⁹, så n=20. (Eksponenten er i-1).

Men det er strengt talt ingenting i veien for å bare la 4000 stå utenfor summetegnet og la i gå fra 3 til 22 i stedet.

Så vidt jeg kan se blir summen

$4371\sum _{i=1}^{20}{1,03}^{i-1}=117 448$

Så til neste spørsmål. På 17-årsdagen har Ada

$4000\sum _{i=1}^{17}{1,03}^{i-1}=87 046$

like etter innskuddet. Når hun tar ut 30 000 kr, står hun altså igjen med 75 046 kr. Disse pengene vil forrentes i 6 år, fram til Ada er 23. I tillegg vil tre innskudd på 4000 kr forrentes i henholdsvis 5 år, 4 år og 3 år. Da får vi 

$57 046 + 4000\cdot {1,03}^4\sum _{i=1}^3{1,03}^{i-1}=57 046+13 915=70 961$

Ada har altså 70 961 kr på kontoen når hun er 23 år, dersom hun brukte 30 000 kr på førerkort da hun var 17 år.