Bestemme likning til en tangent

Jeg kan ikke å finne løsningen- Kan dere hjelpe meg? funksjonen f er gitt ved f(x)`=e^1-х .Grafen til f har en tangent som går gjennomorigo. Bestem likningen for denne tangenten

Et klassisk problem: Å finne tangenten til en kjent funksjon, når du vet at tangenten skal gå gjennom et kjent punkt som ikke ligger på grafen til den funksjonen.

Ettersom f(x) = e^1-x, vil ethvert punkt på grafen til f være på formen (x, e^1-x). Dette punktet (hvor det nå måtte ligge) og origo (0, 0) ligger begge på tangenten vi er interessert i. Siden vi har et uttrykk for to punkter på den linja, kan vi finne et uttrykk for stigningstallet for den linja med topunktsformelen.

$\frac{e^{1-x}-0}{x-0}=\frac{e^{1-x}}{x}$

Men vi vet også at stigningstallet til tangenten i (x, e^1-x) er lik den deriverte til f i det punktet.

$f\text{'}\left(x\right)=-e^{1-x}$

Så nå har vi to uttrykk for det samme, så de skal være like. Det betyr at vi kan sette opp en likning.

$\frac{e^{1-x}}{x}=-e^{1-x} \Rightarrow e^{1-x}=-x{e}^{1-x} \Rightarrow \frac{e^{1-x}}{e^{1-x}}=-x \Rightarrow$

$1=-x \Rightarrow x=-1$

Tangeringspunktet som gir en tangent gjennom origo, er altså x=-1. Vi finner den tilhørende y-verdien

$f\left(-1\right)=e^2$

og dessuten at 

$f\text{'}\left(-1\right)=-e^2$

som jo er stigningstallet til tangenten.

Nå som vi har stigningstallet og tangeringspunktet kan vi sette dem inn i formelen

$y-f\left(c\right)=f\text{'}\left(c\right)\left(x-c\right)$

der c er (x-koordinaten til) tangeringspunktet. Vi får

$y-e^2=-e^2\left(x-\left(-1\right)\right) \Rightarrow y=-e^{2}x-e^2+e^2 \Rightarrow y=-e^{2}x$

Ferdig!