Volum sammenrullet A4-ark

Hei. I matematikk-timen i dag viste læreren oss at når vi regner ut volumet av et sammenrullet A4-ark, så ble volumet forskjellig alt etter om vi rullet sammen langsiden eller kortsiden på A4-arket?
Hvorfor er det slik? Hva er logikken bak dette? Er det et matematisk bevis på dette som jeg kan forstå?

Dette er logikken bak det dere fant ut: Formelen for volumet av en sylinder er πr²h, der r er radius og h er høyde i sylinderen. Nå er det fort tydelig at dette fører til at dersom arket ikke er formet som et kvadrat, vil vi får ulike volumer avhengig av om vi ruller sammen kortsiden eller langsiden.

Ettersom r er opphøyd i 2, vil en økning av radius føre til at volumet øker mer enn om vi øker høyden med like mange prosent.

Hvis vi ser på tilfellet med et rektangulært ark (enten det er A4, eller hva som helst annet), og kaller lengden av langsiden for L og lengden og kortsiden for K, så vil volum når vi ruller sammen langsiden være

$\pi {\left(\frac{L}{2\pi }\right)}^{2}K=\frac{1}{4\pi }\cdot L\cdot L\cdot K$

ettersom L er omkrets av sirkelen som er grunnflaten. Dersom vi i stedet ruller sammen kortsiden blir volumet

$\pi {\left(\frac{K}{2\pi }\right)}^{2}L=\frac{1}{4\pi }\cdot L\cdot K\cdot K$

Jeg har skrevet opp uttrykkene på denne måten for å gjøre det enklere å sammenligne dem. Nå ser vi nemlig at den eneste forskjellen er den nest siste faktoren, og ettersom L er større enn K, så blir volumet størst når vi ruller sammen langsiden.