Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

hafo2@online.no

Spørsmål:

Haakon, 43

1:
Hva er konseptet ved delbrøkoppspalting. Hva finner en da, og hvorfor må en av og til bruke det? Hvordan svar får en, og hva er bruksommrådet?
2:
fant ikke mailen, men hva funksjon i Geogebra må en bruke for å optimere lineært. Legge inn ulikheter og finne svaret?

Svar:

Hei, Haakon!

Delbrøkoppspalting er en nyttig teknikk for å forenkle integranden når vi integrerer. Vi kan ta for oss et integral vi ofte må løse, nemlig de av typen ∫1/(ax+b)dx, der a og b er konstanter. Variabelskiftet

u=ax+bdu=adxdx=1adu

gir

1ax+bdx=1u1adu=1a1udu=1aln|u|+C=1aln|ax+b|+C

når u≠0, dvs. når x≠-b/a.

Med denne formelen får vi f.eks. at

23x+1+32x-5dx=213x+1dx+312x-5dx=23ln|3x+1|+32ln|2x-5|+C

Da vet vi hvordan vi integrerer 1/(ax+b). Så viser det seg at for en rasjonal funksjon (dvs. en brøkfunksjon der både teller og nevner er polynomfunksjoner), hvis telleren er av lavere grad enn nevneren, og nevneren kan skrives som et produkt av unike førstegradsfaktorer, kan funksjonen skrives som en sum av av delbrøker, der disse førstegradsfaktorene er nevnerne. 

La oss nå se på integralet ∫(11x+5)/(6x2+8x+2)dx, som vi altså ikke kan løse uten videre. Integranden her er en rasjonal funksjon der teller er av lavere grad enn nevner. Kan nevner skrives som et produkt av unike førstegradsfaktorer? Ja. Likningen 6x2+8x+2=0 gir løsningene x=-1 og x=-1/3. Det betyr at vi kan skrive om 6x2+8x+2 = 6(x+1)(x+1/3) = 2·3·(x+1)(x+1/3) og nå ganger jeg 2-eren inn i første parantes og 3-eren inn i den andre for å bli kvitt brøken. Da får jeg (2x+2)(3x+1). Nå har vi unike førstegradsfaktorer i nevner. Det betyr at vi nå står med integralet

11x+52x+23x+1dx

Det betyr at det finnes tall A og B slik at

11x+52x+23x+1=A2x+2+B3x+1     *

Hvordan vet jeg det? Det er fordi når vi har summen av to brøker på denne måten, kan vi skrve den summen som

A3x+1+B2x+22x+23x+1

Nå går vi videre med likningen jeg har merket med * og ganger den med (2x+2)(3x+1). Da får vi

11x+5=A3x+1+B2x+2

For å gå videre finnes det et par metoder. Én av dem er å se på førstegradsleddene for seg og konstantleddene for seg, og løse likningssettet vi da får: 11 = 3A+2B og 5 = A+2B. Dette er en enkel sak, og vi finner fort at A=3 og B=1. Jeg bruker generelt en annen metode som sparer meg noen sekunder, men det er litt mer abstrakt, og det er ikke så nøye akkurat nå.

Med A=3 og B=1 har vi fått skrevet om integralet til

32x+3+13x+1dx

og nå kan vi bruke den enkle formelen fra i stad.

 

Når det gjelder lineær optimering, skulle jeg gjerne ha vist deg dette i GeoGebra, men det kan jeg ikke gjøre herifra. Men jeg kan gi deg kortversjonen som jeg tror vil være tilstrekkelig for deg. Det er riktig som du sier at vi legger inn ulikhetene, slik at de avgrenser et område der svaret må ligge. Nå har det seg slik at funksjonen vi vil optimere (enten det er maks eller min) har kandidatenene til et slikt punkt i hjørnene til dette området som er avgrenset av ulikhetene. Med andre ord trenger vi bare å sjekke punktene (x, y) der disse linjene skjæres.

Jeg håper det gav mening. Det er kanskje bite litt vanskelig å forstå uten figur.

Vennlig hilsen,
Oraklet