Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Pytagoras og likesidede mangekanter

Spørsmål:

Hei.
Er følgende riktig? (Hvordan skal man bevise med figurer og tall)
A)I en rettvinklet trekant er summen av arealene til de likesidede trekantene over katetene lik arealet til den likesidede trekanten over hypotenusen
B) Hva om vi tar halvsirkler istedenfor? Hele sirkler? Andre figurer?

Svar:

A) Ja, det er riktig. Hvis vi nå antar at Pytagoras' setning a2+b2 = c2 er kjent, kan vi vise at tilsvarende må gjelde i dette tilfellet.

Observer den likesidede trekanten på kateten a. Trekk høyden i denne trekanten som går fra midtpunktet på a. Nå har du to mindre trekanter der høyden er den ene kateten, den andre kateten er a/2, og hypotenus er a. Nå vil Pytagoras' setning gi at høyden i denne trekanten er (√3/2)a. Med andre ord er arealet av den likesidede trekanten på kateten a lik gh/2 = a·(√3/2)a = (√3/2)a2.

Tilsvarende kan vi vise at arealet av de to andre likesidede trekantene er (√3/2)b2 og (√3/2)c2.

Hvis vi nå betrakter den rettvinklede trekanten igjen, og husker likningen a2+b2 = c2, så kan den likningen ganges med (√3/2) for å gi (√3/2)a2 + (√3/2)b2 = (√3/2)c2. Men det er nettopp dette som er arealene av de tre likesidede trekantene, og det var dette vi skulle vise.

B) Det samme vil gjelde for alle andre likesidede mangekanter, og resonnementet er ganske likt, uten at jeg skal gå gjennom alt det formelle her. I tilfelle du er interessert, kan jeg jo nevne at arealet av disse mangekantene vil være (1/2)nR2·sin(2π/n), der n er antall sider i mangekanten og R er radius i den omskrevne sirkelen til den mangekanten (i praksis avstanden fra "sentrum" i mangekanten til hjørnene). Jeg vet ikke hvor mye matematikk du har lest, så jeg er ikke sikker på det gir mening for deg, men jeg tok det med uansett :)

På samme måte kan vi vise at dersom a2+b2 = c2, så må også (π/2)a2 + /2)b2 = /2)c2, så dette gjelder for halvsirkler også. Og det samme gjelder sirkler.

Vennlig hilsen,
Oraklet