Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Trigonometri

Spørsmål:

Arne, 22

Akkurat begynt å lære meg trigonometri. I alle eksempler jeg ser er det alltid en rettvinklet trekant og jeg har begynt å forstå gangen i sin, cos og tan i disse oppgavene, men har akkurat fått en oppgave der det ikke er en rettvinklet trekant. Fungerer det på samme måte eller er det noe jeg har gått glipp av?

Svar:

Hei, Arne!

Man begynner jo generelt med å lære at i rettvinklede trekanter har vi

sin v = motstående katet / hypotenus

cos v = hosliggende katet / hypotenus

tan v = motstående katet / hosliggende katet

Dersom du nå har en trekant som ikke er rettvinklet, er det flere mulige ting som er aktuelt, alt etter hva oppgaven er.

For det første kan det hende at du kan felle en normal ned på motstående side for å dele trekanten inn i to rettvinklede trekanter, og nå fortsette som vanlig.

For det andre kan det hende at én av de trigonometriske setningene kommer inn. For alle trekanter har vi

Arealsetningen: Arealet av en trekant med to sider b og c, og mellomliggende vinkel A, er gitt ved

(1/2)bc sin A

Sinussetningen: Forholdet mellom lengden av en side, og sinus den motstående vinkelen, er det samme i alle tre tilfeller i en trekant. Altså:

a/sin A = b/sin B = c/sin C

Merk at dette også impliserer at

sin A/a = sin B/b = sin C/c

Cosinussetningen: En generalisering av Pytagoras' setning som sier at 

a2 = b2 + c2 - 2bc cos A

der A altså er den motstående vinkelen til a. Tilsvarende gir dette at

cos A = (b2+c2-a2)/2bc

Merk spesielt at når vi leter etter en ukjent vinkel, kan sinussetningen kan gi to svar, mens cosinussetningen bare vil gi ett svar, så den sistnevnte er å foretrekke.

Dersom du har noen oppgaver, ikke nøl med å sende dem inn! :)

Vennlig hilsen,
Oraklet