www.matematikk.org

Finne bunnpunkter ved regning

Spørsmål:

Hallo! Jeg lurer bare på om hvordan man skal vise ( ved regning ) at 2 punkter er bunnpunkter i en funksjon? At for eksempel (-2,-6) er bunnpunkter, men det skal bevises ved regning.

Svar:

La oss si at vi har funksjonen f(x). Dersom vi deriverer denne funksjonen, får vi en ny funksjon f'(x), og ved å sette denne nye funksjonen lik 0 og løse likningen, får vi én eller x-verdier som vi kaller kritiske punkter. Disse kan enten være toppunkter, bunnpunkter eller terrassepunkter. For å finne ut hvilken type kritisk punkt det er snakk om, lager vi et fortegnsskjema. Vi faktoriserer den deriverte funksjonen, og lar hver faktor få sin fortegnslinje. Vi lager en heltrukket linje på de intervallene av x der den faktoren er positiv, og vi lager en stiplet linje på de intervallene av x der faktoren er negativ. Nederst i fortegnsskjemaet ganger vi alle faktorene sammen, og her vil produktet (representert ved sin egen fortegnslinje) være negativt der antall negative faktorer er et oddetall, og positiv der antall negative faktorer er et partall.

Til slutt ser vi på hva som skjer med fortegnet til f'(x), representert ved den nederste fortegnslinja, i de kritiske punktene.

Dersom f'(x) går fra å være negativ til å være positiv, er det kritiske punktet et bunnpunkt.

Dersom f'(x) går fra å være positivt til å være negativ, er det kritiske punktet et toppunkt.

Dersom f'(x) ikke skifter fortegn, er det kritiske punktet et terrassepunkt.

La oss se på et eksempel. Vi har funksjonen f(x) = x3-(3/2)x2-6x+6. Den deriverte f'(x) = 3x2-3x-6. Dette kan faktoriseres til f'(x) = 3(x-2)(x+1) ved hjelp av andregradsformelen ("abc-formelen"). Nå har vi tre faktorer. For å lage fortegnsskjema, starter vi med å lage en tallinje helt øverst. Der merker vi av de kritiske punktene. For hver faktor trekker vi nå fortegnslinjene i tråd med om faktoren er negativ eller positiv for de aktuelle x-verdiene. F.eks. er x-2 = 0 når x = 2, så vi markerer det med en 0. Til venstre for dette (altså når x<2) vil x-2 være negativ, så da blir det en stiplet linje der. Til høyre for x=2, altså når x>2, vil x-2 være positiv, så vi lager en heltrukket linje der.

De loddrette strekene indikerer at vi har to kritiske punkter, og at det er i disse punktene faktorer kanskje endrer fortegn. Vi får tre intervaller. I det første intervallet har vi to negative faktorer. Siden 2 er et partall, blir produktet positivt, så da blir det en heltrukket linje der. På intervallet fra -1 til 2 har vi én negativ faktor, så da blir produktet negativt. På det siste intervallet har vi ingen negative faktorer, så da blir produktet positivt.

Se nå på den nederste fortegnslinja. I x=-1 går f'(x) fra å være positiv til å være negativ, så -1 er et toppunkt. I x=2 går f'(x) fra å være negativ til å være positiv, så x=2 er et bunnpunkt.

Du finner de tilhørende y-verdiene til disse punktene ved å sette x=-1 og x=2 inn i den opprinnelige funksjonen f(x).

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 17.11.2019 Endret: 25.11.2019