www.matematikk.org

toneror@hotmail.com

Spørsmål:

Ragnvall Rørmark Bøifot, 12

Hei igjen orakelet :)

Jeg sendte deg melding om oddetall for en uke siden. Nå har jeg funnet et nytt mønster eller system, som jeg vil dele med deg.

Hvis man multipliserer et tall med seg selv får vi et kvadrattall, eks 5 x 5 = 25, tallet 25 er kvadrattall, tallet fem er da kvadratroten.

Hvis man multipliserer tallet under og over kvadratrøtter med hverandre vil svaret bestandig være ett tall mindre enn kvadrattallet til tallet mellom disse to...

Noen eksempler:

5 x 5 = 25
4 x 6 = 24

6 x 6 = 36
5 x 7 = 35

12 x 12 = 144
11 x 13 = 143

900 x 900 = 810 000
899 x 901 = 809 999

Det ser ut til å stemme med alle tallene jeg har prøvd med.

Selv om jeg bare går i 7.klasse og ikke har lært om formler til aritmetriske rekker, vil jeg gjerne at du viser meg hvordan formelen på denne vil bli.

Vennlig hilsen

Ragnvall Rørmark Bøifot
Liland, Evenes
12 år

Svar:

Hei, Ragnvall Rørmark Bøifot!

Hei igjen! Du har på nytt gjort en god observasjon, og den enkleste måten å forklare dette på, er med litt algebra. Hvis vi lar tallet n betegne et naturlig tall 1, 2, 3, ... så vil jo n2 = 1, 4, 9, ... bli et kvadrattall. (n2 er bare en annen notasjon for n·n, i tilfelle du ikke har sett det før.) Altså: Hvis vi f.eks. lar n være 5, så blir 52 = 5·5 = 25 et kvadrattall, som du sier.

Så hvorfor blir 4·6 én mindre enn 25? Vel, hvis n = 5, så er n-1 = 4 og n+1 = 6. Generelt, hvis vi ganger sammen n-1 og n+1, får vi (n-1)·(n+1) = n·n + n·1 - 1·n - 1·1 = n2+n-n-1 = n2-1. Når vi ganger sammen to parenteser, skal hvert ledd i den første parentesen ganges med hvert ledd i den andre parentesen.

Nå har vi vist at uansett hva slags tall vi velger at n skal være, så vil n-1 ganger n+1 bli én mindre enn kvadrattallet n·n. Denne sammenhengen (n-1)·(n+1) = n2-1 er et eksempel på en setning som kalles konjugatsetningen, eller noen ganger 3. kvadratsetning. På generell form skrives den (a-b)·(a+b) = a2-b2. I vårt tilfelle var a=n og b=1.

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 05.11.2019 Endret: 06.11.2019