Integral og volum

Har lenge lurt på hvordan en finner volum med integral: se for deg en figur som ser ut som en symetrisk rund søyle diameter 50 cm og 1 meter høy av stål. Se for deg at toppen klemmes symetrisk gjevnt sammen så toppen blir en spiss. Hvordan finne volumet av denne

Jeg tolker det slik at vi ender opp med en kjegle, som vi altså skal finne volumet av. Vi kan i dette tilfellet tenke på kjeglen som et omdreiningslegeme, og da bruker vi integrasjon for å finne volumet. Se for deg at vi plasserer kjeglen med den positive x-aksen i midten av kjeglen, og spissen av kjeglen i origo. Dette tilsvarer å tegne et linjestykke fra origo til punktet (100, 25) og så rotere det linjestykket 360° rundt x-aksen. Hvorfor (100, 25)? Fordi høyden av kjeglene er 100 cm og radius til grunnflaten er 25 cm. Topunktsformelen forteller at vi kan tenke på linjestykket fra origo til (100, 25) som grafen til f(x)=x/4. Nå kan vi bruke formelen for volumet av et omdreiningslegeme mellom x=a og x=b:

${\pi \int }_a^b{\left(f\left(x\right)\right)}^2\mathrm{dx}$

I vårt tilfelle får vi altså

$\pi {\int }_0^{100}{\left(x/4\right)}^2 \mathrm{dx}=\pi {\int }_0^{100}{x}^2/16 \mathrm{dx}=\pi /48·{\left[x^3\right]}_0^{100}$

$=\frac{{100}^3}{48}\pi \approx 65 450 {cm}^3$