www.matematikk.org

Kvadratroten av 5

Spørsmål:

Torill, 31

Hei,

Kan du vise hvorfor kvadratroten av 5 er et irrasjonalt tall?

Takk :-)

Svar:

Hei, Torill!

Yes! Jeg elsker bevis, og dette er en klassiker! Vi kan bevise dette ved å utlede en selvmotsigelse (kontradiksjonsbevis).

Vi antar at √5 er rasjonal (det motsatte av det vi skal bevise). Da finnes det heltall a og b slik at

√5 = a/b

Vi antar at brøken a/b er forkortet så langt det er mulig, dvs. at a og b ikke har noen felles faktorer.

Kvadrerer vi begge sider i likningen, får vi

5 = a2/b2

 

som kan skrives

5b2 = a2          (*)

Denne likningen viser at a2 er delelig med 5, og ― siden 5 er et primtall ― at også a er delelig med 5. Vi kan altså skrive

a = 5n

for ett eller annet heltall n. Setter vi dette inn i (*), får vi

5b2 = 25n2

som, etter at vi har forkortet med 5, gir

b2 = 5n2

Denne likningen viser at b2 er delelig med 5, og derfor at også b er delelig med 5.

Men dermed har vi vist at både a og b er delelig med 5, og det strider mot forutsetningen om at a og b ikke har noen felles faktor. Vi har altså utledet et selvmotsigelse, så antagelsen om at √5 er rasjonal, må være feil.

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 25.06.2019 Endret: 28.08.2019