Varmetap for en vanntank

Hei, fantastisk side hvor jeg til nå har fått nytte av mange av andres spørsmål til dere :)

Here it comes: 3 m³ sylinderformet tank skal lages for lagring av vann, og skal stå vertikalt. Varmetapet per m² fra sideflatene og toppflaten er dobbelt så stor som varmetapet per m² fra bunnen. Hvor stor må sylinderens radius være for at varmetapet skal være minst mulig? Tusen, tusen takk for hjelp!

Volumet til en sylinder er $h\pi r^2$. Volumet av denne sylinderen skal være 3 (m³, men vi regner enhetsløst og setter heller på enheten til slutt). Dermed kan høyden skrives som

$h=\frac{3}{\pi r^2}$.

Varmetapfunksjonen kan skrives som summen av varmetapet gjennom bunnen, pluss varmetapet gjennom toppen (som er dobbelt av det gjennom bunnen), pluss varmetapet gjennom siden (som har areal $h\cdot omkrets$, og dette arealet må også ganges med 2). Merk at vi ikke vet hvor stort varmetapet er, men det er forholdet mellom de forskjellige leddene som betyr noe, og da kan vi regne ut fra arealberegningene. Vi får

 $V=\pi r^2+2\pi r^2+2h\cdot 2\pi r$.

 $V=3\pi r^2+4\pi rh=3\pi r^2+4\pi r\frac{3}{\pi r^2}=3\pi r^2+\frac{12}{r}$.

For å finne minimumspunktet til funksjonen, må vi først derivere den med hensyn på $r$. Vi får

 $\frac{d}{dr}V=6\pi r-\frac{12}{r^2}$.

Vi setter den deriverte funksjonen lik 0, og løser for $r$:

 $6\pi r-\frac{12}{r^2}=0$ 

 $6\pi r^3-12=0$ 

 $r^3=\frac{2}{\pi }$ 

 $r=\sqrt[3]{\frac{2}{\pi }}\approx 0,86$ 

så den optimale radien er 0,86 m.