Bevis for siste siffer i n^2

Hei igjen! Tusen takk for tidligere svar! Her er en oppgave jeg trenger hjelp til:

La$n\in N_0$. Vis at$n^2$ aldri ender på noen av sifrene 3, 7 og 8.

At $n\in N_0$ betyr at n er blant tallene 0, 1, 2, 3, ..., altså de positive heltallene og 0.

Det første beviset som slår meg (jeg vet ikke om det er det mest elegante beviset) er å gå gjennom tallene 0, 1, 2, ..., 9 og si:

Hvis $n$ ender på 0, ender $n^2$ på 0.

Hvis $n$ ender på 1, ender $n^2$ på 1.

Hvis $n$ ender på 2, ender $n^2$ på 4.

Hvis $n$ ender på 3, ender $n^2$ på 9.

Hvis $n$ ender på 4, ender $n^2$ på 6.

Hvis $n$ ender på 5, ender $n^2$ på 5.

Hvis $n$ ender på 6, ender $n^2$ på 6.

Hvis $n$ ender på 7, ender $n^2$ på 9.

Hvis $n$ ender på 8, ender $n^2$ på 4.

Hvis $n$ ender på 9, ender $n^2$ på 1.

Vi ser at siste siffer i $n^2$ aldri ender på 3, 7, eller 8 (og heller aldri på 2, så vidt jeg kan se).