Åttekant

Hvordan finner jeg arealet av en åttekant?

Jeg antar du mener en åttekant der alle vinklene og sidene er like store? Det er mulig å finne for andre også, men det er vesentlig mer arbeid.

La $c$ være sidelengden i kvadratet, $b$ siden i den lille trekanten, og a sidelengden i åttekanten. Anta at vi vet hva $c$ er. (Det er ganske lett å måle i virkeligheten. Eventuelt kan man måle $a$, og da må formelen gjøres litt om.)

Åttekanten har arealet til firkanten, minus de fire små trekantene. Firkanten har areal $c^2$.

De små trekantene har areal $\frac{b^2}{2}$. Det vi må prøve på nå, er å skrive alt dette ved hjelp av $c$.

Først vet vi at

$c=b+a+b=a+2b$

Samtidig kan vi bruke Pytagoras' setning til å finne en sammenheng mellom $a$ og $b$. Hypotenusen i trekanten er $a$, slik at

$a^2=2b^2$

Setter vi sammen disse opplysningene, får vi at $b=\frac{c}{\sqrt{2}+2}$.

Til slutt kan vi kombinere alt vi vet for å finne en formel for arealet A.

$A=c^2-\frac{4b^2}{2}=c^2-\frac{2c^2}{{(\sqrt{2}+2)}^2}=(1-\frac{1}{1+2\sqrt{2}+2})c^2$