Summen av tverrsummene er lik tverrsummen av summen

Er summen av tverrsummen av to tall alltid lik tverrsummen av summen av tallene? Hvorfor er det slik?

Ja, summen av tverrsummen av to tall er alltid lik tverrsummen av summen av tallene. Forklaringen for hvorfor det er slik er som følger:

La a være et positivt heltall med n sifre. Da kan alltid a skrives som${10}^n{a}_n+\cdot \cdot \cdot +{10}^2{a}_2+10a_1+a_0$ , der $a_0$ er det bakerste sifferet, og sånn oppover. Tverrsummen av a blir da $a_n+\cdot \cdot \cdot +a_2+a_1+a_0$. (Prikkene representerer alle tallene som er der, men som vi ikke skriver.)

Tenk nå at b er et annet positivt heltall med m sifre, og anta at a har flere sifre enn b, slik at n > m. Det kunne hende b hadde flest sifre, men da hadde vi bare byttet om på n og m, og alt hadde vært i orden. Det går også bra om de har like mange sifre.

Vi skriver b på samme måte som vi skrev a, og så ser vi på a + b. Det blir ${10}^n{a}_n+\cdot \cdot \cdot +{10}^m(a_m+b_m)+\cdot \cdot \cdot +{10}^2(a_2+b_2)+10(a_1+b_1)+a_0+b_0$.Nå kommer trikset: Vi tar ikke hensyn til at det kanskje er noe her som skal gi en i mente, og dermed legges til et nivå lenger opp. Representasjonen er fortsatt helt gyldig. Om vi nå tar tverrsummen av dette, er det å strippe bort alle tierpotensene, og om man omgrupperer, kan man skrive a-ene for seg og b-ene for seg, men det er akkurat det samme som om man skulle ha regnet ut tverrsummene hver for seg, og så lagt dem sammen.

Hvis dette ble for teoretisk, kan du velge deg ut to tall (for eksempel a = 1324 og b = 762) og bruke disse i resonnementet.