Periferivinkelsetningen

Periferivinkelsetningen sier at hvis sentralvinkelen ligger inne i periferivinkelen, så er den dobbelt så stor som periferivinkelen. Men hvis den ikke gjør det, finnes det en sammenheng da? Som f.eks. om sentralvinkelen ligger i midten av sirkelen og periferivinkelen ligger på sirkelens kant. Hvordan blir sammenhengen mellom sentralvinkel og periferivinkel da?

Teoremet holder også når sentralvinkelen ikke ligger inne i periferivinkelen. Det er litt teknisk å bevise, men med tunga rett i munnen lar det seg fint gjøre:

La S være det punktet på sirkelen som er slik at S, O og Q er på linje.

Generelt har vi at enten er P inne i vinkelen RQS, eller så er R inne i vinkelen PQS. Anta det første. (Hvis ikke kunne vi bare endret navn på punktene.)

Ved summasjon av vinkler, er da$\angle PQR=\angle RQS-\angle PQS$.

Nå er vi i en situasjon der vi har at RQS er en periferivinkel, og ROS er den tilhørende sentralvinklen, og for denne situasjonen gjelder teoremet slik du kjenner det fra før, nemlig at
$\angle ROS=2\angle RQS=2(\angle PQR+\angle PQS)$. Samtidig er jo$\angle ROS=\angle ROP+\angle POS$. Vi har at$\angle POS=2\angle PQS$, så ved å kombinere de to likhetene, og trekke fra den siste, sitter vi igjen med at$\angle POR=2\angle PQR$, slik vi ønsket.