Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

MAT1015 2017 Vår

Del 1
Del 2
Eksamensinformasjon

Eksamenstid
5 timer: 
Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.
 Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler på Del 1
Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Hjelpemidler på Del 2
Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Fremgangsmåte
Du skal svare på alle oppgavene i Del 1 og Del 2.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Dersom oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, kan en alternativ metode gi lav/noe uttelling.

Bruk av digitale verktøy som graftegner og regneark skal dokumenteres med utskrift eller gjennom en IKT-basert eksamen.

Veiledning om vurderingen
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

viser regneferdigheter og matematisk forståelse  
gjennomfører logiske resonnementer  
ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner  
kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler  
forklarer framgangsmåter og begrunner svar  
skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger  
vurderer om svar er rimelige

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (3 poeng) Nettkode: E-4QS3

I en klasse er det $16$ elever. Tabellen nedenfor viser hvor mange søsken de $16$ elevene har.

Antall søsken	Frekvens
$0$	$5$
$1$	$6$
$2$	$2$
$3$	$2$
$4$	$1$

Bestem gjennomsnittet, medianen, typetallet og variasjonsbredden .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Variasjonsbredde er forskjell mellom den største og laveste verdi. Gjennomsnittet, medianen og typetallet er ulike sentralmål.

Medianen deler datasettet i to like store deler. Den er "verdien i midten" av disse to delene.

Gjennomsnittet er en verdi som kan representere alle observasjonene, nemlig ved å summere alle observasjonene og dividere på antall observasjoner.

Typetallet er det mest typiske tallet, altså det som opptrer flest ganger.

Frekvensen forteller hvor mange som har et gitt antall søsken. Det betyr at vi kan lese ut fra tabellen at det er 5 elever som har $0$ søsken, 6 elever som har 1 søsken, 2 elever som har 2 søsken, 2 elever som har 3 søsken og en elev som har 4 søsken.

Vi kan begynne med å ordne dataverdiene i stigende rekkefølge:

$0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4$ .

Deretter bestemmer vi gjennomsnittet. Det finner vi ved å summere alle søsken og dividere på antall elever i klassen.

$G j e n n o m s i t t = \frac{0 \cdot 5 + 1 \cdot 6 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1}{16} = \frac{6 + 4 + 6 + 4}{16} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4} = 1, 25$

Vi har satt opp dataverdiene våre i stigende rekkefølge ovenfor. Dersom det bare var én i midten, ville det vært medianen. Vi har derimot to verdier i midten, og vi finner medianen ved å ta gjennomsnittet av de to midterste verdiene. De to i midten av de 16 blir verdi nr. 8 og nr. 9, som vi ser er $1$ og $1$ . Gjennomsnittet av dem er $\frac{1 + 1}{2} = 1$ , som betyr at medianen er $1$ .

Typetallet er det tallet som opptrer flest ganger i dataene våre, og vi har flest elever som har ett søsken, så typetallet er $1$ .

Variasjonsbredden er forskjellen mellom den største og minste verdien, og vi har at antall søsken varierer fra $0$ til $4$ , som betyr at variasjonsbredden er $4$ .

Svar: Gjennomsnittet er $1, 25$ , medianen er $1$ , typetallet er $1$ og variasjonsbredden er $4$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Variasjonsbredde

Variasjonsbredden i et datamateriale er differansen mellom den største verdien og den minste verdien.

variasjonsbredde

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

Gjennomsnittet finner du ved å:
1) summere alle data
2) dele summen på total antall data

Eksempel: Gjennomsnittet av 2, 2, 4, 3 er 2,75 fordi
1) $2 + 2 + 4 + 3 = 11$
2) antall data er 4. $11 : 4 = 2, 75$

gjennomsnitt

Typetall

Typetallet er det tallet som opptrer flest ganger i et innsamlet tallmateriale fra for eksempel en spørreundersøkelse.

Eksempel: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5. Her er typetallet 2.

typetall

Median

Medianen er den verdien som vi finner i midten av et rangert datamateriale.

Eksempel: I et datamateriale har vi verdiene 3, 6, 1, 4 og 5. Vi rangerer verdiene til 1, 3, 4, 5, 6. Den midterste verdien er 4. Medianen er 4.

median

For flere forklaringer og eksempler på variasjonsbredde, gjennomsnitt og median, lynkurset Statistikk (del I).

For å øve mer, se dette oppgavesettet om hovedtendenser i Treningsleiren.

Oppgave 2 (1 poeng) Nettkode: E-4QS5

Ved en skole er det $125$ elever. En dag tok $25$ av elevene buss til skolen.

Hvor mange prosent av elevene tok buss til skolen denne dagen?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi skal finne hvor stor stor prosentandel av elevene som tok buss. Da må vi se på hvor mange som tok buss i forhold til det totale antallet elever på skolen.

Vi vil finne ut hvor stor prosentandel $25$ elever er av $125$ .

Vi har at $\frac{25}{125} = \frac{1}{5} .$

Prosent betyr del av hundre, og vi kan utvide brøken slik at vi får

$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 20}{5 \cdot 20} = \frac{20}{100} = 20 % .$

Svar: $20 %$ av elevene tok buss.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

For flere forklaringer og eksempler på prosent, se artikkelen Prosent av hva da?.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om prosentregning i Treningsleiren.

Oppgave 3 (2 poeng) Nettkode: E-4QS7

Regn ut

$5^{0} \cdot 2^{3} \cdot 8^{- 2} \cdot {(4^{- 1})}^{- 3}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi har et produkt med potenser som faktorer. Vi kan bruke potensregler for å regne ut dette.

Vi kan begynne med den første faktoren $5^{0}$ . Fra potensreglene så har vi at $a^{0} = 1$ når $a \neq 0$ . Det betyr at $5^{0} = 1$ .
Vi har en annen potensregel som gir at $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ . Den siste faktoren kan vi da skrive som $(4^{- 1})^{- 3} = 4^{(- 1) \cdot (- 3)} = 4^{3} .$ Vi kan også merke oss at $8 = 2^{3}$ og $4 = 2^{2}$ . Da får vi at $8^{- 2} = (2^{3})^{- 2} = 2^{3 \cdot (- 2)} = 2^{- 6}$ og $4^{3} = (2^{2})^{3} = 2^{2 \cdot 3} = 2^{6} .$ Skriver vi dette inn i det opprinnelige uttrykket får vi $5^{0} \cdot 2^{3} \cdot 8^{- 2} \cdot (4^{- 1})^{- 3} = 1 \cdot 2^{3} \cdot 2^{- 6} \cdot 2^{6}$ Nå har vi potenser med samme grunntall i uttrykket, og da gjelder potensregelen $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ . Vi kan bruke denne, og får da at $1 \cdot 2^{3} \cdot 2^{- 6} \cdot 2^{6} = 2^{3 + (- 6) + 6} = 2^{3} = 8$

Svar: $8$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Potens

En potens består av et grunntall opphøyd i en eksponent. Eksponenten sier hvor mange ganger grunntallet skal multipliseres med seg selv. En potens skrives på formen $x^{n}$ , som leses x opphøyd i n-te.

Eksempel: $4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4$

potenser

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Potenser med samme grunntall.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om potenser i Treningsleiren.

Oppgave 4 (2 poeng) Nettkode: E-4QS9

I $10$ L vann er det omtrent $3, 0 \cdot 10^{25}$ vannmolekyler.

Hvor mange vannmolekyler er det i $1, 5$ dl vann?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Det er $10$ dL i $1$ L vann, så $10 L$ vann er det samme som $10 \cdot 10 dL = 100 dL$ vann. Vi kan finne ut hvor mange vannmolekyler det er i $1$ dL ved å se på forholdet mellom antall molekyler og volum vann.

I oppgave får vi oppgitt at i $10 L$ vann vil det være omtrent $3, 0 \cdot 10^{25}$ vannmolekyler. Vi vil finne hvor mange vannmolekyler det er i $1, 5$ dL. Antall vannmolekyler i $1 dL$ finner vi ved å dividere antall vannmolekyler i $10 L$ på antall dL i $10$ L.
I én liter er det $10$ dL, det betyr at i $10 L$ er det $10 \cdot 10 dL = 10^{2} dL$ vann. Videre kan vi bestemme antall vannmolekyler i $1, 5 dL$ ved å multiplisere med $1, 5$ . Utregningen blir da $\frac{3, 0^{\cdot} 10^{25}}{10^{2}} \cdot 1, 5$ Vi kan nå bruke potensreglene. For en brøk med potenser med samme grunntall i teller og nevner har vi at $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}, a \neq 0 .$ Når vi bruker denne får vi at $\frac{3, 0^{\cdot} 10^{25}}{10^{2}} \cdot 1, 5 = 3.0 \cdot 1, 5 \cdot 10^{25 - 2} = 4, 5 \cdot 10^{23} .$

Svar: I $1, 5 dL$ er det $4, 5 \cdot 10^{23}$ vannmolekyler.

Mer om:

Denne oppgaven handler om

Standardform

Et tall skrevet på formen ± a⋅10ⁿder a er et tall mellom 1 og 10 og n er et heltall.

Eksempel: $3 \cdot 10^{6} o g - 5, 2 \cdot 10^{21}$

tall på standardform

Potensiell teori

Teorien om potensialfunksjoner, som er en generalisering av integralfunksjoner i flere variable.

potenser

For flere forklaringer og eksempler, se lynkurset Potenser og røtter.

Oppgave 5 (3 poeng) Nettkode: E-4QSB

I $2017$ er verdien av en leilighet $1 200 000$ kroner.

Per antar at verdien vil stige med $80 000$ kroner hvert år.

a)

Sett opp en modell som viser verdien $f (x)$ av leiligheten $x$ år etter $2017$ dersom det går slik Per antar.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

I følge Per vil verdien øke med en fast sum hvert år, som betyr at vi har en lineær vekst. Vi kan da bruke en lineær funksjon på formen $f (x) = a x + b$ som modell.

Modellen som viser verdien $f (x)$ av leiligheten $x$ år etter $2017$ , er en lineær modell. Det betyr at vi har en funksjon på formen $f (x) = a x + b$ der a er stigningstallet og b er konstantleddet. Konstantleddet b er verdien når $x = 0$ , altså verdien til leiligheten i $2017$ . Den er oppgitt til å være 1 200 000 kr. Per antar at verdien vil stige med $80 000$ kr hvert år, og dette vil være stigningstallet $a$ .
En modell for verdien til leiligheten vil være $f (x) = 80 000 x + 1 200 000$ dersom det går slik Per antar.

Svar: $f (x) = 80 000 x + 1 200 000$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Graf

En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.

grafer

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære funksjoner

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Rette linjer (linære funksjoner).

For å øve mer, se dette oppgavesettet om lineære funksjoner i Treningsleiren.

b)

Kari antar at verdien vil stige med $8 %$ hvert år.

Sett opp en modell som viser verdien $g (x)$ av leiligheten $x$ år etter $2017$ dersom det går slik Kari antar.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Her vil leiligheten øke med en viss prosentandel hvert år, og da får vi en eksponentiell modell. Den vil være på formen $g (x) = a b^{x}$ .

Kari antar et leiligheten vil stige med $8 %$ hvert år. Da kan vi sette opp en eksponentialfunksjon som modell for å vise verdien $g (x)$ av leiligheten $x$ år etter $2017$ . En eksponentialfunksjon vil være på formen $g (x) = a b^{x}$ , der $a$ er funksjonsverdien når $x = 0$ og $b$ er vekstfaktoren.
Funksjonsverdien $a$ vil være verdien til leiligheten i $2017$ , som er $1 200 000$ . Når verdien øker med $8 %$ blir vekstfaktoren

$b = 1 + \frac{8}{100} = 1 + 0, 08 = 1, 08 .$

En modell for verdien til leiligheten vil da være
$g (x) = 1 200 000 \cdot 1, 08^{x}$ dersom det går slik Kari antar.

Svar: $g (x) = 1 200 000 \cdot 1, 08^{x}$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentialfunksjoner

Vekstfaktor

Er en prosentvis endring hvor vi ser på en økning eller en nedgang av en verdi.

Eksempel: en vekstfaktor på 1,15 betyr 15 % økning. Tilsvarende vil en vekstfaktor på 0,85 bety 15 % nedgang.

vekstfaktor

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

Matematisk modell

Matematiske modeller brukes ofte for å beskrive fenomener i naturen.

Matematisk modell: Betegner at man setter opp matematiske relasjoner mellom størrelser man er interessert i å analysere utviklingen av. Etter at man har laget modellen kan en benytte matematikk for å beregne hvordan fenomenet utvikler seg. Mange matematiske modeller har så kompliserte likninger at de ikke kan løses eksakt og man må da benytte numeriske metoder. Når man har funnet en matematisk løsning må svaret tolkes i forhold til fenomenet en ser på.
Dersom svaret som kom ut av modellen rimelig har man satt opp en brukbar modell? Hvis svaret er urimelig har man satt opp en lite brukbar modell.

matematiske modeller

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Typer av funksjoner.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om eksponentialfunksjoner i Treningsleiren.

c)

Hvilken av grafene nedenfor kan være grafen til $f$ ?

Hvilken av grafene nedenfor kan være grafen til $g$ ?

Begrunn svarene dine.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Grafen til en lineær funksjon vil være en rett linje. Når verdien øker med en prosentandel hvert år, vil økningen i verdi være større jo mer verdifull leiligheten blir. For hvert år er økningen større.

Funksjonen $f (x)$ er en lineær funksjon, som stiger med fast verdi hvert år. Grafen til denne likningen vil være en rett linje, altså må $B$ være grafen til $f (x)$ .

Funksjonen $g (x)$ er en eksponentiell funksjon, som stiger med $8 %$ hvert år. Når verdien til leiligheten øker, vil også den årlige økningen i verdi øke. $8 %$ av verdien i $2017$ vil være mindre enn $8 %$ av verdien i $2020$ . Det betyr at vi vil ha en graf som stiger brattere etterhvert, og da passer graf $A$ .

Svar: $B$ kan være grafen til $f (x)$ og $A$ kan være grafen til $g (x)$ .

Mer om:

Denne oppgaven handler om

Graf

grafer

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

For flere eksempler og forklaringer, se lynkursene Funksjoner (del I) og (del II).

Oppgave 6 (6 poeng) Nettkode: E-4QSF

Et år deltok $1000$ elever i en konkurranse. Besvarelsene ble vurdert, og lærerne laget en tabell. Tabellen ser du nedenfor, men her mangler noen av tallene lærerne satte inn.

Poengsum	Frekvens	Relativ frekvens	Klassemidtpunkt
$[0, 30)$	$100$
$[30, 50)$
$[50, 70)$		$0, 6$
$[70, 100)$	$200$

a)

Tegn av tabellen ovenfor, og fyll inn tallene som mangler.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Her må vi huske på definisjonene av frekvens og relativ frekvens.

Frekvensen til et intervall er antall elever som fikk poengsummen i intervallet. Siden frekvensen til intervallet er $100$ betyr det at det var $100$ elever som fikk mellom $0$ og $30$ poeng.
Den relative frekvensen til et intervall er hvor stor andel av elevene som hadde poengsum i dette intervallet. Intervallet $[50, 70 ⟩$ har relativ frekvens $0, 6$ , og det betyr at $0, 6 = 60 %$ hadde mellom $50$ og $70$ poeng.
Midtpunktet $x_{m}$ i et intervall er gjennomsnittet av verdiene i et intervall. Det kan vi finne ved formelen $x_{m} = \frac{a + b}{2}$ der $a$ er den minste og $b$ er den største poengsummen i intervallet.
Vi kan begynne med å skrive inn tabellen som den er:

Poengsum	Frekvens	Relativ frekvens
$[0, 30 ⟩$	$100$
$[30, 50 ⟩$
$[50, 70 ⟩$		$0, 6$
$[70, 100 ⟩$	$200$

Vi kan begynne å fylle den første raden i tabellen. Vi vet at frekvensen for intervallet $[0, 30 ⟩$ er $100$ . For å bestemme den relative frekvensen må vi finne ut hvor stor andel dette er av det totale antallet elever, som vi får vite er $1000$ .
Den relative frekvensen for intervallet $[0, 30 ⟩$ er da $\frac{100}{1000} = 0, 1 .$ Klassemidpunktet for dette intervallet finner vi ved $\frac{0 + 30}{2} = 15 .$
Nå kan vi fylle inn den første raden i tabellen.

Poengsum	Frekvens	Relativ frekvens	Klassemidtpunkt
$[0, 30 ⟩$	$100$	$0, 1$	$15$
$[30, 50 ⟩$
$[50, 70 ⟩$		$0, 6$
$[70, 100 ⟩$	$200$

I den andre raden har vi foreløpig ingen informasjon, vi venter derfor med denne og går videre til den tredje raden.
Intervallet $[50, 70 ⟩$ har relativ frekvens $0, 6$ som betyr at $0, 6 = \frac{60}{100} = \frac{600}{1000}$ av det totale antall elever har mellom $50$ og $70$ poeng. Dette er tilsvarer $600$ elever, som er frekvensen til intervallet.
Klassemidtpunktet finner vi ved $\frac{50 + 70}{2} = \frac{120}{2} = 60 .$ Nå kan vi fylle inn den tredje raden i tabellen.

Poengsum	Frekvens	Relativ frekvens	Klassemidtpunkt
$[0, 30 ⟩$	$100$	$0, 1$	$15$
$[30, 50 ⟩$
$[50, 70 ⟩$	$600$	$0, 6$	$60$
$[70, 100 ⟩$	$200$

I den siste raden har vi intervallet $[70, 100 ⟩$ som har frekvens $200$ . Den relative frekvensen til dette intervallet er $\frac{200}{1000} = 0, 2$ og klassemidtpunktet er $\frac{70 + 100}{2} = \frac{170}{2} = 85$ Vi fyller inn denne informasjonen i den siste raden i tabellen.

Poengsum	Frekvens	Relativ frekvens	Klassemidtpunkt
$[0, 30 ⟩$	$100$	$0, 1$	$15$
$[30, 50 ⟩$
$[50, 70 ⟩$	$600$	$0, 6$	$60$
$[70, 100 ⟩$	$200$	$0, 2$	$85$

Nå gjenstår bare den andre raden i tabellen. Summen av frekvensen for alle intervallene må være lik det totale antallet elever. Da kan vi finne frekvensen for intervallet $[30, 50 ⟩$ ved $1000 - 100 - 600 - 200 = 1000 - 900 = 100 .$ Den relative frekvensen vil være $\frac{100}{1000} = 0, 1$ og klassemidpunktet vil være $\frac{30 + 50}{2} = \frac{80}{2} = 40$ . Nå kan vi fylle inn den siste informasjonen i tabellen. Den blir da seende slik ut:

Poengsum	Frekvens	Relativ frekvens	Klassemidtpunkt
$[0, 30 ⟩$	$100$	$0, 1$	$15$
$[30, 50 ⟩$	$100$	$0, 1$	$40$
$[50, 70 ⟩$	$600$	$0, 6$	$60$
$[70, 100 ⟩$	$200$	$0, 2$	$85$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Frekvens

Frekvens er antall ganger et svaralternativ eller en observasjon finnes i en datasamling. Vi finner fekvensen ved å telle opp hvor mange ganger en og samme data inntreffer.

Se frekvenstabell

frekvens

Relativ frekvens

Antall observasjoner av en spesiell hendelse dividert på antall observasjoner.

Eksempel: Dersom du kaster en terning 40 ganger og får 4 seksere, er den relative frekvensen av seksere 4/40 = 0,1.

relativ frekvens

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Frekvens.

b)

Bestem gjennomsnittlig poengsum for elevene som deltok i konkurransen.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi vet ikke akkurat hvilke poengsum elevene fikk, så vi antar at poengsummene er jevnt fordelt innenfor intervallene.

Vi antar at poengsummene er jevnt fordelt innenfor intervallene, og kan da bruke klassemidtpunktet for hver av intervallene til å bestemme gjennomsnittlig poengsum. Det betyr at vi kan anta at alle $100$ elevene i intervallet $[0, 30 ⟩$ fikk $15$ poeng. Tilsvarende antar vi at de $100$ elevene i intervallet $[30, 50 ⟩$ fikk $40$ poeng, de $600$ elevene i intervallet $[50, 70 ⟩$ fikk $60$ poeng, og de $200$ elevene i intervallet $[70, 100 ⟩$ fikk $85$ poeng.
Vi har totalt $1000$ elever, og den gjennomsnittlige poengsummen er da

$\begin{matrix} \frac{100 \cdot 15 + 100 \cdot 40 + 600 \cdot 60 + 200 \cdot 85}{1000} \\ = & \frac{1500 + 4000 + 36000 + 17000}{1000} \\ = & \frac{58500}{1000} \\ = & 58, 5 \end{matrix}$

Svar: Gjennomsnittlig poengsum for elevene som deltok var $58, 5$ poeng

Mer om:

Denne oppgaven er om

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

gjennomsnitt

Statistikk

Statistikk dreier seg om innsamling og bearbeiding av data eller informasjon. Målet med statistikk er å presentere og gjøre beregninger på datamaterialet slik at det kan gi god og sann informasjon og være grunnlag for vurderinger.

statistikk

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Gjennomsnitt, median og typetall.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om gjennomsnitt i Treningsleiren.

c)

Et annet år deltok $3525$ elever i konkurransen. Tabellen nedenfor viser poengfordelingen.

Poengsum	Frekvens
$[0, 30)$	$563$
$[30, 50)$	$700$
$[50, 70)$	$2000$
$[70, 100)$	$262$

Bestem medianen for poengsummene til elevene som deltok i konkurransen dette året.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi finner medianen ved å rangere poengsummene etter størrelse og velge den midterste verdien. Antall elever $3525$ er oddetall, og da vil vi kun ha en verdi i midten.

Vi finner medianen ved å plukke ut den midterste verdien når poengsummene er rangert etter størrelse. Medianen vil være poengsummen til den $\frac{3525}{2} = 1762, 5 \approx 1763$ eleven. Ut fra dette kan vi begynne med å bestemme hvilken intervall medianen vil være i. I de to første intervallene er det totalt $563 + 700 = 1263$ elever. Det betyr at medianen må være i intervallet $[50, 70 ⟩$ , og det vil være elev nummer $1763 - 1263 = 500$ i dette intervallet. Av de $2000$ elevene i intervallet, vil $500$ tilsvare $\frac{1}{4}$ .

Vi antar at poengsummene er jevnt fordelt i intervallet, fra $50$ til $70$ , som er en variasjonsbredde på $20$ poeng. $\frac{1}{4}$ av variasjonsbredden er $5$ poeng, så medianen vil ligge på omtrent $50 + 5 = 55$ poeng.

Svar: Medianen er på omtrent $55$ poeng.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Median

Medianen er den verdien som vi finner i midten av et rangert datamateriale.

Eksempel: I et datamateriale har vi verdiene 3, 6, 1, 4 og 5. Vi rangerer verdiene til 1, 3, 4, 5, 6. Den midterste verdien er 4. Medianen er 4.

median

Statistikk

statistikk

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Gjennomsnitt, median og typetall].

For å øve mer, se dette oppgavesettet om median i Treningsleiren.

Oppgave 7 (7 poeng) Nettkode: E-4QSJ

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små, blå pinner. Hver pinne har lengden $2, 5$ cm. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.

a)

Hvor mange pinner trenger du for a lage figur $4$ ?

Bestem omkretsen av figur $4$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Etter Figur $1$ legger vi til $2$ pinner for hver figur.

For hver figur legger vi til $2$ pinner for å komme til neste figur. Figur $3$ har $7$ pinner. For å få figur $4$ må vi legge til $2$ nye pinner, og trenger da $9$ pinner.
Omkretsen til figur $4$ vil være lik lengden av $6$ pinner, altså $2, 5 cm \cdot 6 = 15 cm.$

Svar: Vi trenger $9$ pinner for å lage figur $4$ , og omkretsen til figuren er $15$ cm.

Mer om:

Denne oppgaven handler om

Omkrets

Omkrets er et mål for hvor langt det er rundt en figur, langs sidekantene.

Omkrets er et mål for lengde. Derfor måles omkrets i meter eller i en lengdeenhet avledet av meter.

omkrets

b)

Bestem et uttrykk for antall pinner i figur $n$ uttrykt ved $n$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Her skal vi finne en generell fremgangsmåte for å bestemme hvor mange pinner figur $n$ består av.

Vi vil finne et uttrykk for antall pinner i figur $n$ uttrykt ved $n$ . Figur $n$ består av $n$ trekanter, der to trekanter deler én pinne. For å lage én trekant trenger vi $3 \cdot 1$ pinner. For å lage $2$ trekanter trenger vi $3 \cdot 2 - 1$ pinner, og for å lage $3$ trekanter trenger vi $3 \cdot 3 - 2$ pinner. For hver figur $n$ multipliserer vi 3 pinner med $n$ og subtraherer $(n - 1)$ pinner. En generell formel gir da $P_{n} = 3 \cdot n - (n - 1) = 3 n - n + 1 = 2 n + 1 .$

Svar: $2 n + 1$ .

Mer om:

Denne oppgaven handler om

Formel

En formel i matematikk er en måte å uttrykke sammenhenger på, skrevet i et symbolsk språk.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , er en formel for flateinnholdet av en sirkel med radius r.

formler

Algebra

Algebra er den delen av matematikken som handler om strukturer, relasjoner og kvantiteter. I skolen er algebra ofte brukt som betegnelse på regning med bokstavuttrykk og ligninger.

Et algebrauttrykk kan være:

n + n + n + n + n = 5n

Her har vi lagt sammen n til sammen 5 ganger.

algebra

c)

Bestem et uttrykk for omkretsen av figur $n$ uttrykt ved $n$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Her skal vi finne en generell fremgangsmåte for å bestemme hvor stor omkrets figur $n$ har.

Omkretsen til hver figur vil være lik antall pinner som utgjør omkretsen multiplisert med $2, 5$ cm. Hver figur vil ha $n + 2$ pinner som utgjør omkretsen, som betyr at $O_{n} = 2, 5 (n + 2) = 2, 5 n + 5 .$

Svar: $O_{n} = 2, 5 n + 5$

Mer om:

Denne oppgaven handler om

Formel

En formel i matematikk er en måte å uttrykke sammenhenger på, skrevet i et symbolsk språk.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , er en formel for flateinnholdet av en sirkel med radius r.

formler

Omkrets

Omkrets er et mål for hvor langt det er rundt en figur, langs sidekantene.

Omkrets er et mål for lengde. Derfor måles omkrets i meter eller i en lengdeenhet avledet av meter.

omkrets

d)

En figur som følger samme mønster som ovenfor, har en omkrets på $105$ cm.

Bestem antall pinner i denne figuren .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker

Vi kan bruke formlene vi fant i oppgave b) og c) til å bestemme antall pinner.

I oppgave c) fant vi at omkretsen til figur $n$ er gitt ved $O_{n} = 2, 5 n + 5$ . Nå har vi en figur som har omkrets $105 cm$ , og kan bruke formelen fra oppgave c) til å bestemme $n$ , og med det hvilken figur $n$ vi har. Videre kan vi bruke formelen i b) til å finne hvor mange pinner denne figuren består av. Siden omkretsen er $105 cm$ begynner vi med likningen $2, 5 n + 5 = 105$ og løser denne med hensyn på $n$ . Da får vi

$\begin{matrix} 2, 5 n + 5 & = & 105 \\ 2, 5 n & = & 100 \\ n & = & \frac{100}{2, 5} \\ n & = & 40 \end{matrix}$

Vi har altså figur $40$ . Fra oppgave b) kan vi finne antall pinner ved $P_{40} = 2 \cdot 40 + 1 = 81 .$

Svar: Antall pinner til denne figuren er $81$ .

Mer om:

Denne oppgaven handler om

Formel

En formel i matematikk er en måte å uttrykke sammenhenger på, skrevet i et symbolsk språk.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , er en formel for flateinnholdet av en sirkel med radius r.

formler

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likninger

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Lineære likninger.

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (8 poeng) Nettkode: E-4QT2

Funksjonen $V$ gitt ved

$V (x) = 0, 064 x^{4} - 2, 41 x^{3} + 28, 4 x^{2} - 105 x + 39, 0 \leq x \leq 18$

viser vannstanden $V (x)$ centimeter over eller under middelvann $x$ timer etter midnatt i Tromsø en dag.

a)

Bruk graftegner til å tegne grafen til $V$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi kan bruke GeoGebra til å tegne grafen til $V$ .

Vi kan bruke GeoGebra til å tegne grafen til $V (x)$ . Da skriver vi inn i GeoGebra:
$V (x) = 0.064 x^{\land} 4 - 2.41 x^{\land} 3 + 28.4 x^{\land} 2 - 105 x + 39, 0 \leq x \leq 18$

Vi justerer og setter navn på aksene. Da får vi grafen

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Graf

graf

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Graftegner.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om grafisk fremstilling i Treningsleiren.

b)

Vis at vannstanden er ca. $40$ cm under middelvann én time etter midnatt og ca. $31$ cm over middelvann $12$ timer etter midnatt.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

$x$ tilsvarer timer etter midnatt, så én time etter midnatt tilsvarer $x = 1$ og $12$ timer etter midnatt $x = 12$ .

Vi har at $x$ er antall timer etter midnatt. For å finne vannstanden én time etter midnatt kan vi regne ut $V (x)$ for $x = 1$ . Da kan vi bruke GeoGebra og skrive inn $V (1)$ . Da får vi opp tallet $a = - 39, 946 \approx - 40$ , som vil si at vannstanden er omtrent $40$ cm under middelvann.
For å finne vannstanden $12$ timer etter midnatt kan vi regne $V (12)$ . Skriver vi dette inn i GeoGebra får vi tallet $b = 31, 224 \approx 31$ , som tilsvarer at vannstanden er omtrent $31$ cm over middelvann.

Svar: Vi får at $V (1) = - 39, 946$ og $V (12) = 31, 224$ , som gir det vi vil vise.

Mer om:

Denne oppgaven handler om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

For flere foklaringer og eksempler Lynkurset Funksjoner (del II).

c)

Bestem forskjellen mellom høyeste og laveste vannstand i perioden fra midnatt og fram til klokka $18.00$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi kan bruke kommandoene maks og min i GeoGebra for å finne den høyeste og laveste vannstanden.

Vi vil finne forskjellen i høyeste og laveste vannstand fra midnatt til klokka $18.00$ . Det vil si for $0 \leq x \leq 18$ . Da kan vi bruke kommandoen ”maks” til å finne høyeste vannstand og ”min” for å finne laveste vannstand. Deretter kan vi finne forskjellen ved å subtrahere laveste vannstand fra den høyeste.
Vi begynner med å finne den høyeste vannstanden i perioden. Da bruker vi kommandoen

Maks( $<$ Funksjon $>$ , $<$ Start x-verdi $>$ , $<$ Slutt x-verdi $>$ ).

Vi vil finne maks-verdien til $V$ for $0 \leq x \leq 18$ og skriver da inn

Maks( V, 0, 18)

og får opp punktet $A = (9.641, 59.721)$ . Det betyr at den høyeste vannstanden er omtrent $59, 7$ cm over middelvann. Vi finner den laveste vannstanden ved kommandoen ”min” og skriver

Min(V,0,18)

og får punktet $B = (2.671, - 81.509)$ som betyr at laveste vannstand var omtrent $- 81, 5$ altså $81, 5$ cm under middelvann.

Forskjellen mellom høyeste og laveste vannstand er da $59, 7 - (- 81, 5) = 141, 2$

Svar: Forskjellen mellom høyeste og laveste vannstand er $141, 2$ cm.

Mer om:

Denne oppgaven handler om

Ekstremalpunkter

Ekstremalpunkter er en samlebetegnelse på topp- og bunnpunkter.

ekstremalpunkter

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Topp- og bunnpunkter.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om ekstremalpunkter i Treningsleiren.

d)

Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen $V$ klokken $07.00$ .

Gi en praktisk tolkning av dette svaret.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker

Den momentane vekstfarten i et punkt er det samme som stigningstallet til tangenten i det punktet.

Vi kan finne den momentane vekstfarten til funksjonen $V$ når klokken er $07 : 00$ ved å se på stigningstallet til tangenten i punktet. Tangenten kan vi finne ved å bruke kommandoen

Tangent( $<$ x-verdi $>$ , $<$ Funksjon $>$ ).

Vi vil finne tangenten i det punktet på grafen som tilsvarer klokken $07 : 00$ , det vil si når $x = 7$ . Da skriver vi inn

Tangent ( 7, V ).

Da får vi linja $y = 26, 138 x - 160, 332$ som har stigningstall $26, 138$ .

Den momentane vekstfarten forteller hvor mye vannet stiger akkurat klokka $07.00$ , og da stiger det med omtrent $26, 1$ cm per time.

Svar: Den momentane vekstfarten er omtrent $26, 1$ som forteller hvor fort vannet stiger klokka $07 : 00$ .

Mer om:

Denne oppgaven handler om

Momentan vekstfart

Den momentane vekstfarten til funksjonen $f (x)$ i et punkt $x = a$ , er stigningstallet til tangenten til kurven i punktet.

momentan vekstfart

Tangent

Tangent er en linje som berører en kurve i et punkt. Vi sier at linjen tangerer kurven i det punktet.

tangent

For flere forklaringer, se artikkelen Introduksjon til derivasjon – gjennomsnittlig og momentan vekstfart.

Oppgave 2 (2 poeng) Nettkode: E-4QTB

Emil betalte $3 703 000$ kroner for en leilighet. Han betalte $15 %$ mer enn prisantydningen.

Hva var prisantydningen for denne leiligheten?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi vet at Emil betalte $15 %$ over prisantydning for leiligheten, da kan vi finne vekstfaktoren til leiligheten. Vi har at den nye verdien er gitt ved $prisantydning \cdot vekstfaktor$ .

Vi lar $x$ betegne prisantydningen for leiligheten. Emil betalte $15 %$ mer enn prisantydning, det betyr en vekstfaktor på $1 + \frac{15}{100} = 1, 15$ .
Prisen Emil betalte vil være gitt ved prisantydningen multiplisert med vekstfaktoren, altså $hva Emil betalte = prisantydning \cdot vekstfaktor .$ Vi kan sette inn i likningen over og løse for $x$ $\begin{matrix} 3 703 000 & = & x \cdot 1, 15 \\ x & = & \frac{3 703 000}{1, 15} \\ x & = & 3 220 000 \end{matrix}$

Svar: Prisantydningen var $3 220 000$ kroner.

Mer om:

Denne oppgaven handler om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

Vekstfaktor

Er en prosentvis endring hvor vi ser på en økning eller en nedgang av en verdi.

Eksempel: en vekstfaktor på 1,15 betyr 15 % økning. Tilsvarende vil en vekstfaktor på 0,85 bety 15 % nedgang.

vekstfaktor

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Banksparing over flere år.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om prosentregning i Treningsleiren.

Oppgave 3 (2 poeng) Nettkode: E-4QTD

For $20$ år siden arvet Ida penger. Hun satte alle pengene inn på en ny bankkonto.

Hun har fått en fast rente på $4, 25 %$ per år. I dag har hun $1 724 180$ kroner på kontoen.

Hvor mye penger arvet Ida?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Hvert år øker summen Ida har på bankkonto med en fast prosentandel, det betyr at vekstfaktoren er den samme.

La $x$ være hvor mye penger Ida arvet. Hun har fast rente på $4, 25 %$ , som tilsvarer en vekstfaktor på $1 + \frac{4, 25}{100} = 1, 0425$ . Etter ett år vil Ida ha $x \cdot 1, 0425$ kroner på kontoen. Etter to år vil det vokse med samme faste prosentdel, så da vil hun ha $(x \cdot 1, 0425) \cdot 1, 0425 = x \cdot 1, 0425^{2}$ kroner på kontoen. Fortsetter vi sånn vil hun, etter $20$ år, ha $x \cdot 1, 0425^{20}$ kroner på kontoen, som skal være lik $1 724 180$ kroner.
Da får vi likningen $x \cdot 1, 0425^{20} = 1 724 180$ som vi vil løse med hensyn på $x$ . $\begin{matrix} x \cdot 1, 0425^{20} & = & 1 724 180 \\ x & = & \frac{1 724 180}{1, 0425^{20}} \\ x & \approx & 750 000 \end{matrix}$

Svar: Ida arvet $750 000$ kroner.

Mer om:

Denne oppgaven handler om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

Rente

Renter er prisen du betaler for å låne penger, eller det du tjener dersom du låner ut penger.

Se renteformel og rentefot

renter

Vekstfaktor

Er en prosentvis endring hvor vi ser på en økning eller en nedgang av en verdi.

Eksempel: en vekstfaktor på 1,15 betyr 15 % økning. Tilsvarende vil en vekstfaktor på 0,85 bety 15 % nedgang.

vekstfaktor

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Banksparing over flere år.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om prosentregning i Treningsleiren.

Oppgave 4 (2 poeng) Nettkode: E-4QTJ

Beskriv en praktisk situasjon som passer med grafen ovenfor.

Løs oppgaven her

Oppgave 5 (4 poeng) Nettkode: E-4QTO

Ved en skole kom alle elevene som hadde valgt $2 P$ , opp til skriftlig eksamen. Histogrammet nedenfor viser poengfordelingen.

Histogram. X-akse: poeng: 0, 5, 10, 15, ..., 65. Y-akse: frekvens/klassebredde: 0, 1, 2, 3, ..., 8. Den første søylen er fra 0 til 10 på x-aksen, og 1 på y-aksen. Den andre søylen er fra 10 til 40 på x-aksen, og 6 på y-aksen. Den tredje søylen er fra 40 til 60 på x-aksen, og 2 på y-aksen.

a)

Vis at det til sammen var $230$ elever i $2 P$ -gruppene.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

På $y$ -aksen har vi $\frac{frekvens}{klassebredde}$ . Vi kan bestemme klassebredden ved å se på histogrammet, og kan videre bestemme frekvensen for hvert intervall.

Dersom det er $230$ elever i $2 P$ -gruppene, vil frekvensen, som tilsvarer antall elever, til hvert poengintervall summere opp til $230$ .
På $y$ -aksen har vi $y = \frac{frekvens}{klassebredde} .$ Klassebredden er det samme som bredden til intervallet som utgjør søylene. Den kan vi finne ved å se på histogrammet. Når vi kjenner klassebredden til en søyle kan vi bestemme frekvensen til intervallet ved $frekvens = y \cdot klassebredde .$ Den første søylen dekker intervallet fra $0$ til $10$ poeng, så her er klassebredden $10$ .

Neste søyle dekker intervallet fra $10$ til $40$ poeng, som gir klassebredde $40 - 10 = 30$ .
Den siste søylen dekker intervallet fra $40$ til $60$ poeng, som gir klassebredde $60 - 40 = 20$ . Den første søylen har $y$ -verdi lik $1$ og klassebredde $= 10$ . Det betyr at $frekvens = 1 \cdot 10 = 10 .$ For den andre søylen har vi $y = 6$ og $klassebredde = 20$ som gir $frekvens = 6 \cdot 30 = 180 .$ Den siste søylen har $y = 2$ og $klassebredde = 20$ som gir $frekvens = 2 \cdot 20 = 40 .$ Nå vet vi frekvensen for alle poengintervallene. Summen av disse utgjør alle $2 P$ -gruppene. Vi får $10 + 180 + 40 = 230$ som var det vi ville vise.

Svar: Det er $230$ elever i $2 P$ -gruppene.

Mer om:

Denne oppgaven handler om

Statistikk

statistikk

Frekvens

Frekvensen er resultatet av å dele det totale antallet ganger en hendelse intereffer i løpet av et bestemt tidsintervall på intervallets lengde.

frekvens

Histogram

Et histogram er et søylediagram der hver søyle viser frekvensen innenfor et tallintervall. Hele måleområdet er ofte delt inn i like store intervaller.

histogram

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Histogram.

b)

Bestem gjennomsnittlig poengsum for elevene.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi har gruppert informasjon. Da kan vi anta at gjennomsnittet for hver grupper ligger midt i gruppen.

Vi antar at gjennomsnittet for hvert poengintervall ligger midt i intervallet. Det betyr at i det første intervallet, fra $0$ til $10$ poeng, antar vi at elevene i gjennomsnitt fikk $5$ poeng hver. I intervallet fra $10$ til $40$ poeng, antar vi at gjennomsnittlig poengsum var $25$ poeng, og for intervallet fra $40$ til $60$ poeng antar vi at $50$ poeng var gjennomsnittlig poengsum. Fra oppgave a) vet vi at frekvensen til intervallene, altså antall elever som fikk poengsum innenfor intervallene, er henholdsvis $10$ , $180$ og $40$ . Gjennomsnittlig poengsum for elevene i $2 P$ -gruppene er forholdet mellom det totale antall poeng og antall elever, så nå kan vi legge sammen alle poengsummene og dividere på antall elever:

$\begin{matrix} Gjennomsnitt & = & \frac{5 \cdot 10 + 25 \cdot 180 + 50 \cdot 40}{230} \\ = & \frac{6550}{230} \\ \approx & 28, 5 \end{matrix}$

Svar: Gjennomsnittlig poengsum for elevene var $28, 5$ poeng.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Frekvens

Frekvens er antall ganger et svaralternativ eller en observasjon finnes i en datasamling. Vi finner fekvensen ved å telle opp hvor mange ganger en og samme data inntreffer.

Se frekvenstabell

frekvens

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

gjennomsnitt

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Gjennomsnitt, median og typetall.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om gjennomsnitt i Treningsleiren.

Oppgave 6 (4 poeng) Nettkode: E-4QTR

Galdhøpiggen

Temperaturen blir lavere jo høyere over havet vi kommer. Spiterstulen ligger $1106$ m over havet. Toppen av Galdhøpiggen ligger $2469$ m over havet. En dag er temperaturen pa Spiterstulen $12, 0^{\circ} C$ .

Vi antar at temperaturen $T {(x)}^{\circ} C$ , $x$ meter over Spiterstulen denne dagen er gitt ved

$T (x) = - 0, 0065 x + 12, 0 \leq x \leq 1400$

a)

Hvor høyt over Spiterstulen vil du være når temperaturen er $5^{\circ} C$ denne dagen?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Funksjonen $T$ viser sammenhengen mellom temperatur $T$ og antall meter over Spiterstulen $x$ . Så vi vil bestemme for hvilken $x$ vi har at $T (x) = 5$ .

Vi skal finne ut hvor høyt over Spiterstulen vi må være for at temperaturen er $5^{\circ} C$ denne dagen. Det betyr at $T (x) = 5$ , der $T (x) = - 0, 0065 x + 12$ , og vi kan løse likningen $\begin{matrix} - 0, 0065 x + 12 & = & 5 \\ x & = & \frac{5 - 12}{- 0, 0065} \\ x & \approx & 1076, 9 \end{matrix}$

Svar: Vi må være $1076, 9$ meter over Spiterstulen.

Mer om:

Denne oppgaven handler om lineære

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

funksjoner

Lineære ligninger

Ligninger der alle de ukjente opptrer i første grad.

Eksempel: $2 x - 10 + x = x + 20$

likninger

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Hva er en funksjon?.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om lineære likninger og funksjoner i Treningsleiren.

b)

Bestem temperaturen på toppen av Galdhøpiggen denne dagen.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi må finne ut hvor høyt over Spiterstulen toppen av Galdhøpiggen ligger.

Galdhøpiggen ligger på $2469$ meter over havet og Spiterstulen ligger $1106$ meter over havet. Det betyr at Galdhøpiggen ligger $2469 - 1106 = 1363$ meter over Spiterstulen. Vi skal bestemme temperaturen på toppen av Galdhøpiggen, det betyr at vi skal bestemme $T (x)$ for $x = 1363$ . Da kan vi sette inn i funksjonen for $T$ $T (1363) = - 0, 0065 \cdot 1363 + 12 \approx 3, 1$

Svar: Temperaturen på toppen av Galdhøpiggen vil være $3, 1^{\circ} C$ .

Mer om:

Denne oppgaven handler om

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære funksjoner

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Hva er en funksjon?.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om lineære funksjoner i Treningsleiren.

c)

Hvor mange grader synker temperaturen med per $100$ m stigning denne dagen?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Funksjonen til $T$ er en lineær funksjon. Stigningstallet forteller oss hvor mye temperaturen synker per meter.

Funksjonen $T (x)$ er en lineær funksjon på formen $a x + b$ , med stigningstall $a = - 0, 0065$ . Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en $x$ -enhet. I vårt tilfelle betyr det at for hver meter med stigning over Spiterstulen synker temperaturen med $0, 0065^{\circ} C$ . For hver $100$ meter med stigning har vi at temperaturen synker med $(0, 0065 \cdot 100)^{\circ} C = 0, 65^{\circ} C$

Svar: Temperaturen synker med $0, 65^{\circ} C$ per $100$ meter.

Mer om:

Denne oppgaven handler om

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære funksjoner

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstall

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Rette linjer (lineære funksjoner).

For å øve mer, se dette oppgavesettet om lineære funksjoner i Treningsleiren.

Oppgave 7 (5 poeng) Nettkode: E-4QU6

Tabellen nedenfor viser hvor høy Per var $0, 1, 3, 6$ og $12$ år etter fødselen.

Alder (år)	0	1	3	6	12
Høyde (cm)	52	76	97	118	148

a)

Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme en tredjegradsfunksjon $f$ som tilnærmet viser høyden til Per de første $12$ leveårene.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi kan bruke GeoGebra til å finne en tredjegradsfunksjon $f (x)$ som passer til verdiene i tabellen.

Først lager vi et regneark der vi fyller inn den informasjonen vi får oppgitt i tabellen. Da velger vi “Regneark” i “Vis”-menyen. I den første kolonnene skriver vi inn $x$ -verdien, som tilsvarer alder i tabellen, og i den andre kolonnen skriver vi inne høyden til Per. Vi markerer tallene vi har skrevet, høyreklikker og velger “Liste med punkt” i “Lag”-menyen. Listen blir hetende “ $L_{1}$ ”. Nå skal vi finne en tredjegradfunksjon som passer til punktene. Da kan vi bruke kommandoen

RegPoly( $<$ Liste med punkt $>$ , $<$ Polynomgrad $>$ )

Vi vil ha en tredjegradsfunksjon, så vi vil ha polynomgrad $3$ . For å skrive inn $L_{1}$ kan vi skrive $L$ _ $1$ , så da får vi

RegPoly(L_1, 3)

Vi får opp funksjonen $f (x) = 0, 12 x^{3} - 2, 57 x^{2} + 21, 82 x + 53, 56 .$

Svar: Tredjegradsfunksjonen $f (x) = 0, 12 x^{3} - 2, 57 x^{2} + 21, 82 x + 53, 56$ viser tilnærmet høyden til Per.

Mer om:

Denne oppgaven handler om

Regresjon

Regresjon er å finne en funksjon som passer til et datasett. Altså, en funksjon som går gjennom, eller er nærmest flest mulig punkter i datasettet.

regresjon

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

For flere forklaringer og eksempler, se artiklene Regresjon 1 og Graftegner.

b)

Espen er $12$ år. Funksjonen $g$ gitt ved

$g (x) = 0, 13 x^{3} - 2, 8 x^{2} + 23 x + 52$

viser høyden hans $g (x)$ cm, $x$ år etter fødselen.

Bestem Espens gjennomsnittlige vekstfart fra han var $7$ år, til han ble $12$ år.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi skal se på forholdet mellom forskjell i høyden og alder fra Espen var $7$ år til han ble $12$ år.

Vi bruker funksjonen $g (x) = 0, 13 x^{3} - 2, 8 x^{2} + 23 x + 52$ til å bestemme høyden, i cm, til Espen når han var $7$ år. Den finner vi ved å se på $g (x)$ for $x = 7$ . $g (7) = 0, 13 \cdot 7^{3} - 2, 8 \cdot 7^{2} + 23 \cdot 7 + 52 \approx 120, 39$ I følge funksjonen $g$ var høyden til Espen, i cm,når han ble tolv $g (12) = 0, 13 \cdot 12^{3} - 2, 8 \cdot 12^{2} + 23 \cdot 12 + 52 \approx 149, 44$ Det betyr at han, i cm, vokste $149, 44 - 120, 39 = 29, 05$ fra han var $7$ til han var $12$ år, altså på $12 - 7 = 5$ år. Gjennomsnittlig vekstfart er forholdet mellom forskjell i høyde og alder, og vi får $\frac{29, 05 cm}{5 år} = 5, 81 cm/år .$

Svar: Gjennomsnittlig vesktfart var $5, 81$ cm per år

Alternativ løsning

Vi kan også løse denne oppgaven i GeoGebra. Da begynner vi med å skrive inn $g (x) = 0, 13 x^{3} - 2, 8 x^{2} + 23 x + 52$ Vi kan finne den gjennomsnittlige vekstfarten til Espen fra han var $7$ år, til han ble $12$ år ved å se på stigningstallet til linjen som går gjennom punktene på grafen der $x = 7$ og $x = 12$ . Vi kan tegne inn disse punktene ved å skrive inn $(7, g (7))$ og $(12, g (12))$ . Videre finner vi linjen gjennom de to punktene. Den har likning $y = 5, 81 x + 79, 72$ .

Stigningstallet til denne linjen er det samme som den gjennomsnittlige vekstfarten, altså $5, 81$ .

Mer om:

Denne oppgaven handler om

Gjennomsnittlig vekstfart

En funksjon $f (x)$ har gjennomsnittlig vekstfart

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}$

mellom $x_{2}$ og $x_{1}$ . Dette er gjennomsnittlig økning i y-retning per økning i x-retning på intervallet.

gjennomsnittlig vekstfart

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Introduksjon til derivasjon – gjennomsnittlig og momentan vekstfart.

c)

Sitatet nedenfor er hentet fra nettsidene til Norsk Helseinformatikk AS.

"Gutter har en maksimal høydevekst pa ca.

10

cm per år midt i puberteten. Etter vekstspurten i puberteten avtar veksthastigheten ned mot null."

Anta at Espen kommer i puberteten når han er $12$ år. Puberteten varer vanligvis i to-tre år.

Ta utgangspunkt i sitatet ovenfor, og vurder om funksjonen $g$ kan brukes til å bestemme høyden til Espen etter at han har fylt $12$ år.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi kan se på grafen til $g$ , og se hvordan den oppfører seg for $x > 12$ .

Tegner vi inn grafen til $g (x)$ i GeoGebra vil den se slik ut:

Her kan vi se at grafen etterhvert vil stige veldig bratt, og ikke stagnere, slik den ville gjort i følge sitatet. Vi kan også se at for $x = 16$ , altså når Per er $16$ år vil grafen ha $y$ -verdi på over $200$ , som betyr at Per ville være over $2$ meter, noe som er svært lite sannsynlig.

Svar: Funksjonen $g$ kan ikke brukes etter $12$ år.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Regresjon

Regresjon er å finne en funksjon som passer til et datasett. Altså, en funksjon som går gjennom, eller er nærmest flest mulig punkter i datasettet.

regresjon

For flere eksempler og forklaringer, se artikkelen Regresjon 1.

Oppgave 8 (4 poeng) Nettkode: E-4QUA

Liverpool FC
Antall mål per kamp	Frekvens
$0$	$8$
$1$	$14$
$2$	$7$
$3$	$4$
$4$	$3$
$5$	$1$
$6$	$1$

Newcastle United FC
Antall mål per kamp	Frekvens
$0$	$14$
$1$	$13$
$2$	$7$
$3$	$2$
$4$	$0$
$5$	$1$
$6$	$1$

Tabellene ovenfor viser hvor mange mål Liverpool FC og Newcastle United FC skåret per kamp i sesongen $2015 - 2016$ .

a)

Bestem gjennomsnittet og medianen for antall skårede mål per kamp for begge klubbene.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi skal finne gjennomsnitt og median. I tillegg skal vi finne standardavviket i oppgave b. Vi kan få alle disse tre målene på en tidsbesparende måte ved å bruke Geogebra regneark og verktøyet "Analyse av en variabel".

Vi åpner regneark i Geogebra. Vi har her brukt versjon 6 av Geogebra.

Først lager vi de to tabellene vi trenger, en for hvert av fotballlagene.

Vi markerer tallene i tabellen for Liverpool ved hjelp av shift og pil-tastene.

Deretter klikker vi på knappen med søylene øverst i venste hjørne

og velger "Analyse av en variabel".

Øverst til høyre klikker man deretter på " $Σ x$ " for å få opp statistikk.

Les av "Gjennomsnitt" og "Median".

Les også av standardavviket $σ$ for å svare på oppgave b. $σ$ står for standardavviket.

Gjennomsnitt = 1,66

Median = 1

$σ$ = 1,47

Marker tallene i tabellen for Newcastle United FC. Velg "Analyse av en variabel" og " $Σ x$ " knappen igjen. Les av statistikken.

Gjennomsnitt = 1,16

Median = 1

$σ$ = 1,35

Svar: Liverpool FC skåret i gjennomsnitt 1,66 mål per kamp. Medianen deres er 1 mål per kamp. Newcastle United FC skåret i gjennomsnitt 1,16 mål per kamp. Medianen deres er 1 mål per kamp.

Alternativ løsning

Frekvensen forteller hvor mange kamper det ble skåret det gitte antallet mål, så for eksempel Liverpool hadde 8 kamper der de skåret 0 mål. Det totale antall mål finner vi ved å multiplisere frekvensen med antall mål per kamp og summere opp.

Vi begynner med Liverpool FC, og finner hvor mange mål de skåret. De hadde 8
kamper der de skåret 0 mål, totalt gir det altså 0⋅8=0 mål. Videre hadde de 14 kamper der de skåret 1 mål, som gir 1⋅14=14 mål og 7 kamper der de skåret 2 mål, som gir 2⋅7=14 mål. Fortsetter vi sånn får vi at Liverpool FC totalt skåret

0⋅8+1⋅14+2⋅7+3⋅4+4⋅3+5⋅1+6⋅1=63 mål i sesongen 2015−2016.

Antall kamper de spilte i løpet av sesongen finner vi ved å summere alle frekvensene. Da får vi

8+14+7+4+3+1+1=38

kamper totalt. Gjennomsnittet for antall skårede mål per kamp finner vi nå ved

$\frac{63}{38}$ ≈1,66.

Medianen finner vi ved å rangere dataene våre og velge ut den midterste observasjonen. Siden antall kamper er partall betyr det at vi har to i midten. Det vil være den 18. og den 19. observasjonen. Vi har 8 kamper med 0 mål, og 14 kamper med 1 mål, totalt er det 8+14=22. Det betyr at de midterste observasjonene må begge være 1, og medianene er

$\frac{1 + 1}{2}$ =1.

Vi finner det totale antall skårede mål av Newcastle United FC på tilsvarende måte som for Liverpool.

0⋅14+1⋅13+2⋅7+3⋅2+4⋅0+5⋅1+6⋅1=44

Det blir 44 mål i løpet av sesongen 2015−2016. Antall kamper er det samme som for Liverpoll FC, nemlig 38. Gjennomsnittet for antall skårede mål per kamp er da

$\frac{44}{38}$ ≈1,16.

Medianen her vil også blir bestemt ut fra den 18. og 19. observasjonen. Newcastle United FC har 14 kamper med 0 mål og 13 kamper med 1 mål, totalt 14+13=27 kamper, som betyr at observasjon 18 og 19 er 1 også her. Medianen er 1.

Svar: Liverpools gjennomsnitt er 1,66 mål per kamp. Medianen er 1 mpl per kamp. Newcastels gjennomsnitt er 1,16 mål per kamp. Medianen er også for dem 1 mål per kamp.

Mer om:

Denne oppgaven handler om

Statistikk

statistikk

Median

Medianen er den verdien som vi finner i midten av et rangert datamateriale.

Eksempel: I et datamateriale har vi verdiene 3, 6, 1, 4 og 5. Vi rangerer verdiene til 1, 3, 4, 5, 6. Den midterste verdien er 4. Medianen er 4.

median

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

gjennomsnitt

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Gjennomsnitt, median og typetall.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om median og gjennomsnitt i Treningsleiren.

b)

Bestem standardavviket for antall skårede mål per kamp for begge klubbene.

Hva forteller dette oss?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

I Geogebras regneark kan man finne standardavvik ved å bruke verktøyet "Analyse av en variabel".

Se i oppgave a) hvordan man henter ut standardavviket.

Svar: Standardavviket for Liverpool er omtrent $1, 47$ og for Newcastle $1, 35$ . Dette betyr at Liverpool har større spredning i antall mål per kamp i forhold til Newcastle. Newcastle skårer likere antall mål per kamp.

Alternativ løsning

Vi bruker Excel til å finne standardavviket.

Vi begynner med å skrive inn tabellene fra oppgaven inn i regnearket.

x er antall mål. Frekvensen sier hvor mange kamper det ble skåret x antall mål.

Vi summerer frekvensene ved å skrive =SUM(B3:B9) og =SUM(H3:H9) for å finne totalt antall kamper. Begge lag har spilt 38 kamper.

Deretter finner vi totalt antall mål fra kampene. Først multipliserer vi cellen med x antall mål med frekvensen f. Vi skriver =𝙰3*𝙱3 for Liverpool, og drar i den lille grønne firkanten i høyre hjørne ned til B9 for å kopiere formelen til cellene. Tilsvarende kan vi skrive =𝙶3*𝙷3 for Newcastle og kopiere formelen ved å dra i høyre hjørne nedover.

Det totale antallet mål for Liverpool finner vi ved å summere tallene i kolonne C. Det totale antallet mål for Liverpool finner vi ved å summere tallene i kolonne I.

Gjennomsnittet finner vi ved å dividere totalt antall mål på antall kamper. For Liverpool blir det 𝙲10/𝙱10.

Tilsvarende blir det 𝙸10/𝙷10 for Newcastle.

For å bestemme standardavviket, må vi ta kvadratroten av variansen. Variansen finner vi ved å summere de kvadratiske avvikene, for deretter å dividere på antall kamper. Vi legger inn formel =C3*(B3-B$14$)^2 i cellen D3 og kopierer formel nedover. Deretter finner vi sum av kvadratiske avvik ved =SUM(D3:D9).

Tilsvarende må vi legge inn formel =H3*(G3-H$14$)^2 i J3 for Newcastle, kopiere nedover og summere kolonnen.

Vi legger inn = sqrt(D10/B10) for å finne Liverpools standardavvik. =sqrt(H15/H10) gir Newcastles standardavvik.

Standardavviket for Liverpool er omtrent 1,47 og for Newcastle 1,35.

Svar: Standardavviket for Liverpool er omtrent $1, 47$ og for Newcastle $1, 35$ . Standardavviket er et mål på spredningen i datamateriale. Det betyr at Liverpool har større spredning i antall mål per kamp i forhold til Newcastle. Newcastle skårer likere antall mål per kamp.

Mer om:

Denne oppgaven handler om regneark,

Statistikk

statistikk

Standardavvik

Standardavviket er kvadratroten av variansen. Dette er på en måte et forventet avvik fra gjennomsnittet.

standardavvik

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Varians og standardavvik..

Oppgave 9 (5 poeng) Nettkode: E-4QUD

Elise og Ådne opprettet hver sin bankkonto $1$ . januar $2017$ . Elise satte inn $20 000$ kroner. Ådne satte inn $25 000$ kroner. Begge får en rente pa $2, 75 %$ per år, og begge lar pengene stå urørt.

a)

Lag et regneark som gir en oversikt over hvor mye Elise og Ådne vil ha i banken hvert år fram til og med $31$ . desember $2036$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi kan bruke Excel for å lage regnearket.

Vi vil ha et regneark som gir oversikt over både hva Elise har og hva Ådne har i banken. Øverst i regnearket kan vi skrive inn informasjon om innskudd og renteprosent for hver av dem, som vi får oppgitt i oppgaven. For hvert år vil vi finne hvor mye penger som er på konto. Da må vi bestemme hvor mye Elise og Ådne får i renter i slutten av året, og addere det til kapitalen i starten samme år. Vi kan sette opp et regneark som ser slik ut:

Vi starter i $2017$ . Elise setter inn $20 000$ kr og Ådne $25 000$ kroner. Kapital i starten av året $2017$ kan vi da skrive henholdsvis
=C2 og =G2
for Elise og Ådne. Rentene for året finner vi ved å multiplisere kapitalen i starten av året med renteprosenten. I 2017 finner vi renten til Elise ved
=B7*C3
og til Ådne ved
=F7*G3.
Renteprosenten er den samme hvert år, så for å kopiere formelen til cellene under skriver vi
=B7*$C$3 og =F7*$G$3
for å låse cellene med renteprosenten.
Kapitalen i starten av $2018$ finner vi ved å summere kapitalen i starten av $2017$ og renten fra $2017$ . Da kan vi skrive
=B7+C7 for Elise og
=F7+G7 for Ådne.
Nå kan vi kopiere formlene til cellene under ved å dra i ruten nede i høyre hjørnet for både kapital og rente. Regnearket vil da se seende slik ut:

Vi har tatt med starten av år $2037$ for vi antar at Elise og Ådne får med rentene fra $2036$ : Da vil Elise ha $34 408, 57$ kroner i banken og Ådne ha $43 010, 71$ kroner i banken $31 .$ desember $2036$ . Med formler vil regnearket se slik ut:

Svar: Elise har $34 408, 57$ kroner og Ådne har $43 010, 71$ kroner i banken $31 .$ desember $2036$ .

Mer om:

Denne oppgaven handler om regneark og

Rente

Renter er prisen du betaler for å låne penger, eller det du tjener dersom du låner ut penger.

Se renteformel og rentefot

renter

For flere forklaringer og eksempler på regneark, se artikkelen Regneark.

b)

Hvor mange år går det før de har mer enn $70 000$ kroner i banken tilsammen?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi kan lage en formel i regnearket som summerer kapitalen til Elise og Ådne.

Vi kan bruke samme regneark som i oppgave a) og lage en kolonne der vi regner samlet kapital for Elise og Ådne. For å finne hvor mye de hadde til sammen i banken i $2017$ kan vi summere B7+F7, og så kan vi kopiere denne formelen til cellene under. Da vil regnearket se slik ut:

Her kan vi se at Elise og Ådne vil ha mer en $70 000$ kroner tilsammen i $2034$ . Da har det gått $17$ år.

Svar: Etter $17$ år vil de ha mer enn $70 000$ kroner til sammen i banken.

Mer om:

Denne oppgaven handler om regneark.

For flere forklaringer og eksempler på regneark, se artikkelen Regneark.

c)

Hvor mye vil Elise og Ådne til sammen få i renter disse $20$ årene?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi kan summere rentene for Elise og Ådne for alle årene.

På tilsvarende måte som i oppgave b) kan vi lage en kolonne der vi summerer renten til Elise og Ådne for hvert år. Da kan vi til slutt summere sammen all renten for alle årene.
Samlet rente for $2017$ finner vi ved å summere renten til Elise og renten til Ådne for $2017$ , det gjør vi ved å skrive =C7+G7 i celle J7. Vi kopierer denne formelen til radene under, slik at i summerer rentene for til og med $2036$ .
Nå kan vi summere den samlede renten for alle årene ved å skrive =SUM(J7:J26).

Da kan vi se at Ådne og Elise til sammen har fått $32 419, 28$ kroner i renter. Med formler ser regnearket nå slik ut:

Svar: Elise og Ådne vil til sammen få $32 419, 28$ kroner i renter.

Mer om:

Denne oppgaven handler om regneark.

For flere forklaringer og eksempler på regneark, se artikkelen Regneark.

MAT1015 2017 Vår

Del 1

Del 2

Eksamensinformasjon

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (3 poeng) Nettkode: E-4QS3

Løsningsforslag

Variasjonsbredde

Gjennomsnitt

Typetall

Median

Oppgave 2 (1 poeng) Nettkode: E-4QS5

Løsningsforslag

Prosent

Oppgave 3 (2 poeng) Nettkode: E-4QS7

Løsningsforslag

Potens

Oppgave 4 (2 poeng) Nettkode: E-4QS9

Løsningsforslag

Standardform

Potensiell teori

Oppgave 5 (3 poeng) Nettkode: E-4QSB

a)

Løsningsforslag a)

Graf

Lineære funksjoner

b)

Løsningsforslag b)

Eksponentialfunksjon

Vekstfaktor

Prosent

Matematisk modell

c)

Løsningsforslag c)

Graf

Funksjon

Oppgave 6 (6 poeng) Nettkode: E-4QSF

a)

Løsningsforslag a)

Frekvens

Relativ frekvens

b)

Løsningsforslag b)

Gjennomsnitt

Statistikk

c)

Løsningsforslag c)

Median

Statistikk

Oppgave 7 (7 poeng) Nettkode: E-4QSJ

a)

Løsningsforslag a)

Omkrets

b)

Løsningsforslag b)

Formel

Algebra

c)

Løsningsforslag c)

Formel

Omkrets

d)

Løsningsforslag d)

Formel

Ligning

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (8 poeng) Nettkode: E-4QT2

a)

Løsningsforslag a)

Funksjon

Graf

b)

Løsningsforslag b)

Funksjon

c)

Løsningsforslag c)

Ekstremalpunkter

d)

Løsningsforslag d)

Momentan vekstfart