Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

MAT1013 2013 Vår

Del 1
Del 2
Eksamensinformasjon

Eksamenstid:

5 timer:
Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.
Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler:

Del 1:

Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Hjelpemidler på Del 2:

Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:
Du skal svare på alle oppgavene.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling.

Veiledning om vurderingen:
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

viser regneferdigheter og matematisk forståelse
gjennomfører logiske resonnementer
ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
vurderer om svar er rimelige
forklarer framgangsmåter og begrunner svar
skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger

Andre opplysninger:

Kilder for bilder, tegninger osv.

Hjort (www.freeimages.com, 5.07.2016)
Tegninger, grafer og figurer: Utdanningsdirektoratet

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (1 poeng) Nettkode: E-4B8V

Regn ut og skriv svaret på standardform

$\frac{750 000}{0, 005}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi kan skrive om både teller og nevner til

Standardform

Et tall skrevet på formen ± a⋅10ⁿder a er et tall mellom 1 og 10 og n er et heltall.

Eksempel: $3 \cdot 10^{6} o g - 5, 2 \cdot 10^{21}$

tall på standardform

, og bruke regneregler for potenser.

Dersom vi får både teller og nevner på standardform kan vi bruke regnereglene for potenser.

Vi begynner med telleren, og den kan vi skrive om slik at vi får $750 000 = 7, 5 \cdot 10^{5}$ .

I nevneren kan vi skrive $0, 005 = 5, 0 \cdot 10^{- 3}$ .

Nå kan vi regne ut

$\frac{750 000}{0, 005} = \frac{7, 5 \cdot 10^{5}}{5, 0 \cdot 10^{- 3}} = \frac{7, 5}{5, 0} \cdot \frac{10^{5}}{10^{- 3}}$

og videre kan vi bruke potensregelen $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ som gir at

$\frac{7, 5}{5, 0} \cdot 10^{5 - (- 3)} = 1, 5 \cdot 10^{8}$ .

Svar: $1, 5 \cdot 10^{8}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Standardform

Et tall skrevet på formen ± a⋅10ⁿder a er et tall mellom 1 og 10 og n er et heltall.

Eksempel: $3 \cdot 10^{6} o g - 5, 2 \cdot 10^{21}$

tall på standardform

Du kan lese mer om hvordan man skriver tall på standardform i artikkelen Tall på standardform. For mer om potensregeler se i lynkurset Potenser.

For å øve mer, se oppgavesettet om tall på standardform i Treningsleiren.

Oppgave 2 (2 poeng) Nettkode: E-4B8X

Løs likningssystemet

$[\begin{matrix} 2 x + 3 y = 7 \\ 5 x - 2 y = 8 \end{matrix}]$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

For å løse likningsettet kan vi bruke en av likningene til å uttrykke en av de ukjente ved hjelp av den andre ukjente, og bruke dette uttrykket inn i den andre likningen.

Vi har likningssystemet:

$(1) 2 x + 3 y = 7$

$(2) 5 x - 2 y = 8$

For å løse dette likningssystemet kan vi bruke substitusjonsmetoden. Da bruker vi en av likningene til å finne et uttrykk for en av variablene.

Vi ser på (1), og vil finne et uttrykk for $x$ . Da kan vi skrive om

$2 x - 3 y = 7 \Rightarrow 2 x = 7 - 3 y \Rightarrow x = \frac{7 - 3 y}{2}$ .

Dette uttrykket kan vi sette inn i (2) slik at vi får en likning med bare én ukjent.

$5 x - 2 y = 8$

$5 (\frac{7 - 3 y}{2}) - 2 y = 8$

$\frac{35 - 15 y}{2} - 2 y = 8$

Vi vil løse denne likningen med hensyn på $y$ .

$35 - 15 y - 4 y = 16$

$- 19 y = - 19$

$y = 1$

For å finne $x$ , setter vi inn $y = 1$ i likning (1):

$2 x + 3 y = 7$

$2 x + 3 (1) = 7$

$2 x = 4$

$x = 2$

Alternativ løsning

Vi kan også løse likningssystemet ved å bruke addisjonsmetoden.

Her kan vi begynne med å nummerere likningene:

$2 x + 3 y = 7 (1)$

$5 x - 2 y = 8 (2)$

I addisjonsmetoden legger vi sammen eller trekker likningene fra hverandre og på denne måten eliminerer vi en av de ukjente. I denne oppgaven må vi først velge hvilken ukjent vi ønsker å eliminere. Hvis vi velger $x$ , må vi først multiplisere likning (1) med $5$ og likning (2) med $- 2$ før vi legger likningene sammen.

$\begin{matrix} 2 x \cdot 5 + 3 y \cdot 5 & = & 7 \cdot 5 & (1) \\ 5 x \cdot (- 2) - 2 y \cdot (- 2) & = & 8 \cdot (- 2) & (2) \end{matrix}$

Vi får at

$\begin{matrix} 10 x + 15 y & = & 35 & (1) \\ - 10 x + 4 y & = & - 16 & (2) \end{matrix}$

Nå kan vi legge sammen likningene, høyreside med høyreside, og venstreside med venstreside:

$\begin{matrix} 10 x + (- 10 x) + 15 y + 4 y & = & 35 + (- 16) \\ 19 y & = & 19 \\ \frac{19 y}{19} & = & \frac{19}{19} \\ y & = & 1 \end{matrix}$

Nå setter inn for $y$ i likning (2) og får da:

$\begin{matrix} 5 x - 2 \cdot 1 & = & 8 \\ 5 x & = & 8 + 2 \\ 5 x & = & 10 \\ \frac{5 x}{5} & = & \frac{10}{5} \\ x & = & 2 \end{matrix}$

Løsningen er $x = 2 og y = 1$ .

Svar: $x = 2 og y = 1$

Mer om

Denne oppgaven er om

Ligningssett

Et ligningssett er to eller flere ligninger med to eller flere ukjente.

likningssystem

Flere forklaringer og eksempler på hvordan løser sett av likninger finner du i lynkurset Likningssystem.

For å øve mer, se oppgavesettet om likningssystemer i Treningsleiren.

Visste du at?

Vi kan sette svaret på prøve ved å sette inn svaret i både likning 1) og 2). Hvis begge likningene stemmer er svaret rett. Begge likningene representerer en rett linje, og løsningen vår, $x = 2 og y = 1$ er punktet hvor linjene krysser hverandre, altså

Skjæringspunkt

Der to eller flere linjer krysser hverandre, sier vi at de har et felles skjæringspunkt. I et koordinatsystem kan skjæringspunktet leses av ved å trekke en loddrett strek ned til x-aksen og en vannrett strek bort til y-aksen.

skjæringspunktet

. Flere eksempler og forklaringer kan du se i Grafisk løsning av likninger.

Oppgave 3 (2 poeng) Nettkode: E-4B93

Skriv så enkelt som mulig

$\frac{x^{2} - 16}{x^{2} - 8 x + 16}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

For å forenkle en brøk, må vi se om teller og nevner har noen

Felles faktor

En felles faktor er et tall som finnes som faktor i to eller flere tall. Største felles faktor er det største tallet som er felles faktor.

Eksempel: 12 og 8, her er 2 og 4 felles faktor og 4 er den største felles faktor.

felles faktorer

slik at vi kan forkorte. Derfor vil vi

Faktorisering

Å faktorisere et tall betyr å skrive tallet som et produkt av to eller flere tall.

Eksempel: 36 = 2 · 18, 36 = 6 · 6, 36 = 2 · 2 · 3 · 3

Se også primtallsfaktorisering

faktorisere

Teller

Tallet eller uttrykket som står over brøkstreken i en brøk.
Telleren forteller hvor mange brøkdeler som skal telles med.

Eksempel: I brøken $\frac{5}{9}$ , er det 5 som er telleren. 9 kalles nevner.

telleren

Nevner

Tallet som står under brøkstreken i en brøk.
Nevneren forteller hvor mange like deler det hele er delt opp i.

Eksempel : $\frac{3}{7}$ . Tallet 7 er nevneren.

nevneren

Vi vil faktorisere teller og nevner hver for seg, og begynner med telleren.

Vi kan skrive

$x^{2} - 16 = x^{2} {- 4}^{2}$

og da ser vi at vi kan bruke

Konjugatsetningen

Konjugatsetningen kalles også tredje kvadratsetning:

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ .

konjugatsetning

til å faktorisere slik at vi får

$x^{2} - 16 = x^{2} - 4^{2} = (x - 4) (x + 4)$ .

Nevneren kan vi faktorisere ved å bruke

Andre kvadratsetning

Andre kvadratsetning sier at

${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ .

andre kvadratsetningen

$x^{2} - 8 x + 16 = x^{2} - 2 \cdot 4 x + {(- 4)}^{2} = {(x - 4)}^{2}$

Vi kan skrive brøken som

$\frac{x^{2} - 16}{x^{2} - 8 x + 16}$ = $\frac{(x - 4) (x + 4)}{(x - 4) (x - 4)}$

Vi ser at vi har én felles faktor, $(x - 4)$ , i telleren og nevneren, så vi kan forkorte brøken og får

$\frac{(x - 4) (x + 4)}{(x - 4) (x - 4)} = \frac{x + 4}{x - 4}$ .

Svar: $\frac{x + 4}{x - 4}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Faktorisering av uttrykk

Med å faktorisere et uttrykk i x mener vi å skrive det som et produkt av lineære faktorer.

Eksempel: $x^{2} + 4 x + 3 = (x + 1) (x + 3)$

polynomfaktorisering

Flere forklaringer og eksempler på hvordan man faktoriserer polynomuttrykk finner du i lynkurset Polynomdivisjon. For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Faktorisering av andregradsuttrykk.

For å øve mer, se oppgavesettet om faktorisering i Treningsleiren.

Oppgave 4 (2 poeng) Nettkode: E-4B97

Bestem likningen for den rette linjen i koordinatsystemet ovenfor.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Likningen for en rett linje er alltid på formen $y = a x + b$ hvor $a$ er

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstallet

b

Konstant

En konstant er en størrelse som ikke forandrer verdi, i motsetning til en variabel.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , $π$ er en konstant og $r$ er en variabel.

Se Variabel

konstantleddet

. Vi ser at

y = b

når

x = 0

, altså når linjen skjærer

y

-aksen.

Vi skal finne likningen til en rett linje, og den vil være på formen $y = a x + b$ . Når $x = 0$ , altså når linjen skjærer $y$ -aksen får vi at $y = b$ . Fra koordinatsystemet ser vi at linjen skjærer $y$ -aksen i $(0, 3)$ , det betyr at vi må ha $b = 3$ .

Vi finner stigningstallet $a$ ved å se på forholdet mellom hvor mye den vokser i $y$ -verdi og hvor mye den vokser i $x$ -verdi, og får at

$a = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Vi setter inn for $(x_{1}, y_{1}) = (0, 3) og (x_{2}, y_{2}) = (6, 0)$

og får at

$a = \frac{0 - 3}{6 - 0} = \frac{- 3}{6} = - \frac{1}{2}$

Linjen har stigningstall $a = - \frac{1}{2}$ og konstantledd $b = 3$ .

Svar: Likningen for linjen er $y = - \frac{1}{2} x + 3$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære funksjoner

Graf

En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.

grafer

Flere forklaringer og eksempler på funksjonsuttrykk og tilhørende graf finner du i artikkelen Rette linjer (lineære funksjoner). Se hva Orakelet har svart på spørsmålet Hva er stigningstallet for lineære funksjoner?

For å øve mer, se oppgavesettet lineære funksjoner i Treningsleiren.

Oppgave 5 (3 poeng) Nettkode: E-4B9A

Sorter uttrykkene nedenfor etter stigende verdi. Vis eller forklar hvordan du har tenkt.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

For å kunne sammenligne uttrykk, må vi få uttrykkene på samme form. Vi kan raskt se at noen av uttrykkene kan vi regne ut og finne eksakt verdi av. På resterende må vi finne en tilnærmet verdi eller intervallet de ligger i.

Vi kan begynne med de uttrykkene vi kan finne de eksakte verdiene til.

Fra regnereglene for potenser har vi at $a^{0} = 1$ det betyr at

${(\frac{1}{2})}^{0} = 1$ .

Vi vet også at $\frac{1}{a^{m}} = a^{- m}$ så da kan vi skrive

$\frac{1}{9} - 3^{- 2} = \frac{1}{9} - \frac{1}{3^{2}} = \frac{1}{9} - \frac{1}{9} = 0$

Vi kan skrive

$27^{\frac{1}{3}} = {(3^{3})}^{\frac{1}{3}} = 3$ .

De resterende uttrykkene er det vanskelig å finne eksakt verdi på, men vi prøver å finne en omtrentlig verdi på eller intervallet de må ligge i.

Vi vet at $\sin (50^{\circ})$ har verdi mellom $\sin (0^{\circ})$ og $\sin (90^{\circ})$ , og dermed vil ligge mellom $0$ og $1$ og vi har da at

$0 < \sin (50^{\circ}) < 1$ .

For å bestemme verdien til $\sqrt{20}$ , kan vi se på at $4^{2} = 16$ , altså må vi ha $4 < \sqrt{20}$ . Vi har at $5^{2} = 25$ , så vi må derfor ha

$4 < \sqrt{20} < 5$ .

Vi har at $\log 100 = \log 10^{2} = 2$ og $\log 1000 = \log 10^{3} = 3$ , så

$2 < \log 150 < 3$ .

Nå har vi funnet omtrentlige verdier for alle uttrykkene, og kan da sortere de etter sette etter stigende verdi.

Svar: I stigende verdi: $\frac{1}{9} - 3^{- 2}$ , $\sin (50^{\circ})$ , $(\frac{1}{2})^{0}$ , $\log (150)$ , $27^{\frac{1}{3}}$ $, \sqrt{20}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Logaritme

Logaritmen til et positivt tall n er den eksponenten som må brukes for å uttrykke n som en potens av et valgt fast tall, grunntall. Vanlige grunntall er e og 10.

Eksempel: log₁₀(1000) = 3 ettersom 10³ = 1000.

logaritmer

Potens

En potens består av et grunntall opphøyd i en eksponent. Eksponenten sier hvor mange ganger grunntallet skal multipliseres med seg selv. En potens skrives på formen $x^{n}$ , som leses x opphøyd i n-te.

Eksempel: $4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4$

potenser

Trigonometri

Læren om forholdet mellom vinkler og sider i en trekant. De trigonometriske funksjonene sinus og cosinus er de viktigste redskapene i denne teorien.

trigonometri

Flere forklaringer og eksempler på verdiene til sinus og cosinus finner du i lynkurset Trigonometri, og du kan lese om logaritmer i lynkurset Logaritmer.

For å øve mer, se oppgavesettet om logaritmer, potenser og tall på standardform i Treningsleiren.

Oppgave 6 (2 poeng) Nettkode: E-4B9G

I en eske er det tre røde og to blå kuler. Sondre trekker tilfeldig to av kulene.

Bestem sannsynligheten for at de to kulene han trekker, har samme farge.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi skal finne

Sannsynlighet

Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en hendelse skal skje.
En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.

Sannsynlighet 0 betyr at en hendelse helt sikkert ikke skjer.
Sannsynlighet 1 betyr at en hendelse helt sikkert skjer.

Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.

Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.

sannsynligheten

for at Sondre enten trekker to røde eller to blå kuler, og da kan vi først bruke

Produktsetningen

Produktsetningen sier at $P (A \cap B) = P (A | B) \cdot P (B)$ , hvor $P (A | B)$ er den sannsynligheten for at A inntreffer gitt B.

produktsetningen

og deretter bruke

Addisjonssetningen

Sannsynligheten for unionen av flere hendelser kan regnes ut ved å legge sammen sannsynlighetene for hver enkelt hendelse, og så trekke fra sannsynligheten for alle snitt av hendelsene.

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

addisjonssetningen

Vi kaller de røde kulene for $R$ og de blå for $B$ . Vi finner først sannsynligheten for å trekke en rød kule. Sannsynligheten er gitt ved

$\frac{antall gunstige utfall}{antall mulige utfall}$ .

Det er tre røde og to blå kuler, så totalt har vi fem kuler. Sannsynligheten for å trekke en rød kule første gang er da

$P (første R) = \frac{3}{5}$ .

Vi antar at han trakk en rød på første, da har vi fire kuler igjen, hvor to er røde. Sannsynligheten for at den andre kulen er rød er da

$P (andre R) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Ved produktsetningen får vi da at sannsynligheten for to røde kuler er

$P (to R) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$

På tilsvarende måte kan vi finne sannsynligheten for å trekke to blå kuler. Vi har totalt fem kuler, hvor to av dem er blå.

Sannsynligheten for at den først kulen som trekkes er blå er da lik:

$P (første B) = \frac{2}{5}$ .

Nå antar vi at vi trakk en blå kule på første, og har da fire kuler igjen, der kun én er blå Sannsynligheten for at den andre kulen er blå er da

$P (andre B) = \frac{1}{4}$

Sannsynligheten for at Sondre trekker to blå kuler er

$P (to B) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ .

For å finne sannsynligheten for at de to kulene vi trekker har samme farge, får vi ved å bruke addisjonssetningen og legge sammen sannsynligheten for å trekke to blå og to røde kuler:

$P (to like kuler) = P (to B) + P (to R) = \frac{1}{10} + \frac{3}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Svar: $\frac{2}{5}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Sannsynlighet

sannsynlighet

Flere forklaringer og eksempler på hvordan man finner sannsynligheten for kombinerte hendelser finner du i artikkelen Addisjonssetningen.

For å øve mer, se oppgavesettet om addisjonssetningen i Treningsleiren.

Oppgave 7 (8 poeng) Nettkode: E-4B9I

Funksjonen $f$ er gitt ved $f (x) = - x^{2} - 4 x + 5$

a)

Bestem nullpunktene til $f$ ved regning.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi kan finne

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunktene

til

f (x)

finner vi ved å løse

f (x) = 0

. Siden

f (x)

er en andregradsfunksjon kan vi bruke

abc-formelen

abc-formelen sier at en likning på formen $a x^{2} + b x + c = 0$ har løsningene $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

abc-formelen

Vi kan finne nullpunktene ved å løse $f (x) = 0$ ved hjelp av abc-formelen, som sier at likningen på formen ${a x}^{2} + b x + c = 0$ har løsninger gitt ved formelen

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

Vi har uttrykket

${f (x) = - x}^{2} - 4 x + 5 = 0$ .

Her er $a = - 1, b = - 4 og c = 5$ , så da kan vi sette inn i formelen og får da
$x = \frac{- (- 4) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

$= \frac{4 \pm \sqrt{16 - (- 20)}}{- 2}$

$= \frac{4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

$= \frac{4 \pm 6}{- 2}$

som gir løsningene

$x_{1} = 1, x_{2} = - 5$ .

Svar: $f (x) = 0$ når $x = 1$ og $x = - 5$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunkter

Flere forklaringer og eksempler finner du i lynkurset Funksjonsdrøfting og artikkelen abc-formelen.

For å øve mer, se oppgavesettet om nullpunkt og andregradslikninger i Treningsleiren.

b)

Bestem koordinatene til eventuelle ekstremalpunkter (topp- eller bunnpunkter) på grafen til $f$ ved regning.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi finner

Ekstremalpunkt

Vi sier at et punkt $x = a$ er et ekstremalpunkt for en funksjon $f (x)$ hvis det enten er et toppunkt eller bunnpunkt for funksjonen.

ekstremalpunkt

ved å derivere

f (x)

og finne når

f' (x) = 0

For å finne ekstremalpunkt kan vi derivere $f (x)$ , og finne når den deriverte, $f' (x) = 0$ .

Vi begynner med å derivere $f (x)$ og får

$f' (x) = ({- x}^{2} - 4 x + 5)' = - 2 x - 4$

Nå skal vi finne ut når $f' (x) = 0$ så da løser vi likningen

$- 2 x - 4 = 0$ som gir at

$x = \frac{4}{- 2} = - 2$ .

Vi tegner en fortegnslinje for $f' (x)$ .

Når den deriverte er positiv, vokser funksjonen, og når den deriverte er negativ, vil den avta. Ut i fra fortegnslinjen ser vi at ekstremalpunktet vi fant er et toppunkt.

Vi regner ut $f (- 2)$ for å finne $y$ -koordinaten til toppunktet:

$f (- 2) = - (- 2)^{2} - 4 (- 2) + 5 = 9$

Svar: Grafens eneste ekstremalpunkt er et toppunkt i $(- 2, 9)$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Koordinat

Koordinatene til et punkt måles langs aksene i et koordinatsystem og forteller nøyaktig hvor vi finner punktet.

Eksempel: I punktet (1,3) er 1 førstekoordinat og 3 er andrekoordinat.

Se Koordinatsystem

koordinater

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

Ekstremalpunkt

Vi sier at et punkt $x = a$ er et ekstremalpunkt for en funksjon $f (x)$ hvis det enten er et toppunkt eller bunnpunkt for funksjonen.

ekstremalpunkter

For flere forklaringer og eksempler om derivasjon se lynkurset Derivasjon. Flere forklaringer og eksempler på hva ekstremalpunkter er, og hvordan vi finner dem finner du i lynkurset Funksjonsdrøfting.

For å øve mer, se oppgavesettet om ekstremalpunkter i Treningsleiren.

c)

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi vet at funksjonen er en

Andregradsuttrykk

Et uttrykk på formen $a x^{2} + b x + c$ , hvor $x$ er den størrelsen som varierer, og $a, b$ og $c$ er konstante tall.

andregradsfunksjon

, og vi vet hvor

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunktet

er.

Funksjonen er en andregradsfunksjon med negativt fortegn foran andregradsleddet, $- x^{2}$ , det betyr at grafen er et 'surt fjes', og den vil ha et toppunkt. Dette toppunktet fant vi i b), så vi vet at det må være i punktet $(- 2, 9)$ .

I a) fant vi nullpunktene til funksjonen, som var $- 5$ og $1$ .

Så nå kjenner vi tre punkter som grafen til $f$ må gå gjennom. Vi kan regne et par ekstra for å være sikker, så vi kan finne verdien til $f$ når $x = 0 og x = - 4$ . Da får vi

$f (0) = - 0^{2} - 4 (0) + 5 = 5$

$f (- 4) = - {(- 4)}^{2} - 4 (- 4) + 5 = - 16 + 16 + 5 = 5$

som betyr at $(0, 5) og (- 4, 5)$ er punkter på grafen. Nå har vi fem punkter som vi markerer i et koordinatsystemet før vi tegner inn grafen:

Svar:

Mer om

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Graf

graf

Forklaringen på hvordan man tegner en graf finner du i artikkelen Grafen til en funksjon.

For å øve mer, se oppgavesettet om grafisk framstilling i Treningsleiren.

d)

Bestem likningen for tangenten til grafen til $f$ i punktet $(- 1, f (- 1))$ ved regning. Tegn tangenten i samme koordinatsystem som du brukte i oppgave 7 c).

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker

Tangent

Tangent er en linje som berører en kurve i et punkt. Vi sier at linjen tangerer kurven i det punktet.

Tangenten

er en rett linje. Stigningstallet til tangenten er det samme som den deriverte til funksjonen i det punktet.

Vi begynner med å finne funksjonsverdien når $x = - 1$ . Vi regner ut

$f (- 1) = - (- 1)^{2} - 4 (- 1) + 5 = 8$ ,

så vi vil finne tangenten i punktet $(- 1, 8)$ .

Stigningstallet til tangenten i punktet $(- 1, f (- 1))$ er det samme som den deriverte til $f (x)$ når $x = - 1$ .

Fra b) har vi at den deriverte er

$f' (x) = - 2 x - 4$ ,

så vi kan finne stigningstallet ved å sette inn for $x = - 1$ .

Da får vi

$f' (- 1) = - 2 (- 1) - 4 = - 2$ .

Siden tangenten er en rett linje, kan den skrives på formen $y = a x + b$ , der

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstallet

a = - 2

. Altså må vi ha

y = - 2 x + b

. Tangenten går gjennom punktet

(- 1, f (- 1)) = (- 1, 8)

. Så dette punktet må tilfredstille likningen til tangenten. Da setter vi inn for

x = - 1

y = 8

i ligningen for tangenten.

8 = - 2 (- 1) + b

som gir at

$6 = b$ .

Svar: Tangenten har likning $y = - 2 x + 6$ , skissert under.

Mer om

Denne oppgaven er om

Tangent

Tangent er en linje som berører en kurve i et punkt. Vi sier at linjen tangerer kurven i det punktet.

tangent

Flere forklaringer og eksempler på hvordan man finner en tangent finner du i artikkelen Å finne tangent og mer om funksjoner i lynkurset Funksjonsdrøfting.

Oppgave 8 (4 poeng) Nettkode: E-4B9W

Ovenfor ser du to halvsirkler. Den ene har sentrum i $O$ og radius $O A = r$ , den andre har sentrum i $D$ og radius $A D$ .

a)

Vis at $A C = r \cdot \sqrt{2}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

$△ A O C$ er en

Rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er rett, altså 90 grader.

rettvinklet trekant

, så da kan vi bruke

Pytagoras læresetning

Pytagoras læresetning sier at:

Arealet av kvadratet utspent av hypotenusen i en rettvinklet trekant er lik summen av arealene til kvadratene utspent av katetene.

Hvis lengden av katetene er a og b, og lengden av hypotenusen er c, har vi denne sammenhengen : $a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Setningen kan brukes til å finne lengden til en side i en trekant.

Pytagoras læresetning

$△ A O C$ er en rettvinklet trekant, med hypotenus $A C$ . Da kan vi bruke Pytagoras læresetning som gir at vi må ha

$A C^{2} = A O^{2} + O C^{2}$

Vi setter inn for $A O = O C = r$ for å finne lengden til $A C$ . Da får vi

$A C = \sqrt{r^{2} + r^{2}}$

$A C = \sqrt{{2 \cdot r}^{2}}$

$A C = r \cdot \sqrt{2}$

som var det vi ville vise.

Mer om

Denne oppgaven er om

Pytagoras læresetning

Flere eksempler på hvordan man kan bruke setningen til å regne ut sidelengder finner du i artikkelen Pytagoras setning.

For å øve mer, se oppgavesettet om Pytagoras læresetning i Treningsleiren.

b)

Vis ved regning at arealet av området som er markert med blått på figuren ovenfor, er lik arealet av $Δ A O C$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi kan finne arealet til $△ A O C$ ved å bruke formelen for arealet til en trekant. For å finne arealet til det blå området kan vi finne arealet til halvsirkelen med sentrum i $D$ , og trekke fra det hvite området.

Vi begynner med å finne arealet til $△ A O C$ , som har grunnlinje $g$ og høyde $h$ som begge er lik $r$ ved formelen

$A_{△ A O C} = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{r \cdot r}{2} = \frac{r^{2}}{2}$ .

For å finne arealet til det blå området finner vi først arealet til hele halvsirkelen med sentrum i $D$ . Arealet til en sirkel er gitt ved $A = π \cdot r^{2}$ . Sirkelens radius er $A D$ , som er halvparten av $A C$ , som betyr at vi har

$A D = \frac{A C}{2} = \frac{r \sqrt{2}}{2}$ .

Vi bruker formelen for arealet til en sirkel, dividert med $2$ for å finne arealet til halvsirkelen. Da får vi at

$A = \frac{π \cdot {A D}^{2}}{2} = \frac{π (\frac{r \sqrt{2}}{2})^{2}}{2} = \frac{π \cdot (\frac{r^{2} \cdot 2}{4})}{2} = \frac{π r^{2}}{4}$ .

Nå ønsker vi å trekke fra arealet av det hvite området i halvsirkelen.

Dette arealet utgjør halvparten av halvsirkelen med sentrum i $O$ , minus arealet av $△ A O C$ .

Arealet av halvsirkelen med sentrum i $O$ er $\frac{π \cdot r^{2}}{2}$ . Vi vil ha halvparten av dette arealet, og dividerer derfor med $2$ og får $\frac{π r^{2}}{4}$ , som altså er arealet av kvartsirkelen med sentrum i $O$ . Trekker vi nå fra arealet av $△ A O C$ får vi $\frac{π r^{2}}{4} - \frac{r^{2}}{2}$ , som er arealet av den hvite halvmånen i halvsirkelen med radius $A D$ .

Nå kan vi finne arealet til det blå området ved å regne

$\frac{π r^{2}}{4} - (\frac{π r^{2}}{4} - \frac{r^{2}}{2}) = \frac{r^{2}}{2}$

som er det samme som $A_{△ A O C}$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Algebra

Algebra er den delen av matematikken som handler om strukturer, relasjoner og kvantiteter. I skolen er algebra ofte brukt som betegnelse på regning med bokstavuttrykk og ligninger.

Et algebrauttrykk kan være:

n + n + n + n + n = 5n

Her har vi lagt sammen n til sammen 5 ganger.

algebra

Flere forklaringer og eksempler på arealet av figurer finner du i lynkurset Geometri - areal og volum.

For å øve mer, se oppgavesettet om areal i Treningsleiren.

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (2 poeng) Nettkode: E-4BAP

I en rettvinklet trekant er den lengste kateten $4, 0$ cm. En av vinklene i trekanten er $60^{\circ}$ . Bestem lengden av den korteste kateten og hypotenusen i denne trekanten ved regning.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Det kan være lurt å tegne en hjelpefigur. Trekanten er rettvinklet, altså har vi en vinkel som er $90^{\circ}$ , og en som er $60^{\circ}$ , som betyr at vi har en $30 - 60 - 90$ trekant, og da er

Hypotenus

Den siden som er motstående til den rette vinkelen i en rettvinklet trekant. De andre to sidene kalles kateter.

hypotenusen

dobbelt så lang som den korteste

Katet

Side i en rettvinklet trekant. Den rette vinkelen dannes av to linjestykker som kalles kateter.

kateten

. Siden trekanten er rettvinklet kan vi også bruke

Pytagoras læresetning

En $30 - 60 - 90$ trekant kan sees på som halvparten av en likesidet trekant.

Da har vi at hypotenusen i trekanten er dobbelt så lang som den korteste kateten. Vi kaller hypotenusen for $a$ og for den korteste kateten kan vi skrive $\frac{a}{2}$ .

Nå kan vi bruke Pytagoras læresetning for å finne $a$ :

$a^{2} = 4^{2} + (\frac{a}{2})^{2}$

$\frac{3}{4} a^{2} = 16$

$a = \sqrt{\frac{64}{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}$ .

Hypotenusen $a = \frac{8}{\sqrt{3}}$ , og siden den korteste kateten skal være halvparten, må vi ha at den er $\frac{4}{\sqrt{3}}$ .

Svar: Hypotenusen er $\frac{8}{\sqrt{3}}$ cm lang og den korteste kateten er $\frac{4}{\sqrt{3}}$ cm lang.

Alternativ løsning

Denne oppgaven kan vi også løse ved trigonometri.

Vi kjenner den lengste kateten, som er den hosliggende kateten til vinkelen på $30^{\circ}$ , og kan bruke definisjonen av cosinus til å bestemme lengden til hypotenusen.

Vi har at $cos x = \frac{hosliggende katet}{hypotenus}$ .

Som over kan vi kalle hypotenusen $a$ . Hvis vi nå setter inn lengden for den hosliggende kateten får vi at

$cos (30^{\circ}) = \frac{4, 0}{a}$ ,

som er en likning vi kan løse ved hjelp av CAS. Da skriver vi inn:

Løs[cos(30º)=4.0/a, a]

og får at

$a = \frac{8 \sqrt{3}}{3} = \frac{8}{\sqrt{3}}$ .

Siden den korteste kateten er halvparten av hypotenusen må den være $\frac{a}{2} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er rett, altså 90 grader.

rettvinklet trekant

Hypotenus

Den siden som er motstående til den rette vinkelen i en rettvinklet trekant. De andre to sidene kalles kateter.

hypotenus

Pytagoras læresetning

Cosinus

Cosinus er en trigonometrisk funksjon.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til hosliggende katet og hypotenus.

cosinus

For flere eksempler og forklaringer om Pytagoras læresetning se artikkelen Pytagoras læresetning. Flere forklaringer på forhold mellom sider i en trekant finner du i lynkurset Trigonometri.

For å øve mer, se oppgavesettet om Pytagoras læresetning i Treningsleiren.

Oppgave 2 (6 poeng) Nettkode: E-4BAU

Gitt $◻ A B C D$ ovenfor.

a)

Bestem lengden av diagonalen $B D$ ved regning.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Fordi vi kjenner vinklene $∠ D A B$ og $∠ A B D$ og siden $A D$ , kan vi bruke

Sinussetningen

Er en setning som sier at forholdet mellom sinus til vinklene i en trekant og deres motstående sider er konstant.

La $A B C$ være en trekant, og la $∠ A, ∠ B$ og $∠ C$ være vinklene i trekanten. Da er

$\frac{\sin ∠ A}{B C} = \frac{\sin ∠ B}{A C} = \frac{\sin ∠ C}{A B} .$

Vi vil også ha nytte av følgende formulering: $\frac{B C}{\sin ∠ A} = \frac{A C}{\sin ∠ B} = \frac{A B}{\sin ∠ C} .$

sinussetningen

til å finne lengden

B D

Vi vi finne lengden til $B D$ . Vi kjenner den motstående vinkelen $∠ D A B$ , samt $A D$ og den motstående vinkelen $∠ A B D$ . Da kan vi bruke sinussetningen.

Fra den har vi at

$\frac{sin ∠ D A B}{B D} = \frac{sin ∠ A B D}{A D} = \frac{sin ∠ B D A}{A B}$ .

Nå kan vi se på

$\frac{sin ∠ D A B}{B D} = \frac{sin ∠ A B D}{A D}$ . Vi vil løse denne likningen for $B D$ , og får vi at

$B D = \frac{A D \cdot sin ∠ D A B}{sin ∠ A B D} = \frac{5, 0 \cdot sin (60^{\circ})}{sin (38, 2^{\circ})} \approx 7, 0$ .

Svar: $B D \approx 7, 0$ cm.

Mer om

Denne oppgaven er om

Sinus

Forholdet mellom lengdene til motstående katet og hypotenus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant.

$\sin (A) = \sin (u) = \frac{{motstående}_{katet}}{hypotenus} = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b}$

sinus

Vinkel

En vinkel er en geometrisk figur satt sammen av to rette linjer med samme startpunkt. Vinkler måles i grader.

vinkler

Flere forklaringer og eksempler på hvordan man bruker sinussetningen for å finne sidelengder og vinkler finner du i artikkelen Sinussetningen.

For å øve mer, se oppgavesettet om sinussetningen i Treningsleiren.

b)

Bestem arealet av firkanten ved regning.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

Arealet

er summen av arealene til

△ A B D

△ B C D

. Vi bruker

Arealsetningen

For en trekant $△ A B C$ er arealet gitt ved $A = \frac{sin (∠ A) \cdot A B \cdot A C}{2}$ .

arealsetningen

til å finne arealet av hver av trekantene.

Vi kan finne arealet for hver av trekantene og så summere de sammen til slutt. For å finne arealene kan vi bruke arealsetningen.

Vi begynner å se på $△ A B D$ .

Fra arealsetningen har vi at arealet til denne trekanten er gitt ved

$\frac{\sin (∠ B D A) \cdot A D \cdot B D}{2}$ .

Vi kjenner $A D og B D$ , så da må vi finne $∠ B D A$ for å bestemme arealet.

Siden vinkelsummen i en trekant er $180^{\circ}$ har vi at

$∠ B D A = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 38, 2^{\circ} = 81, 8^{\circ}$ .

Nå kan vi bruke arealsetningen til å regne ut arealet av trekanten:

$A_{△ A B D} = \frac{5, 0 \cdot 7, 0 \cdot sin (81, 8^{\circ})}{2} \approx 17, 3$ .

Videre kan vi finne arealet til $△ B C D$ . Fra arealsetningen har vi at arealet er gitt ved

$\frac{\sin (∠ B C D) \cdot B C \cdot C D}{2}$ .

For å bruke arealsetningen må vi først finne $∠ B C D$ . Siden i kjenner alle sidene kan vi bruke cosinussetningen, som gir at

$D B^{2} = D C^{2} + B C^{2} - 2 \cdot B C \cdot D C \cdot cos (∠ B C D)$ .

Vi setter inn de verdiene vi har og får videre at

${7, 0}^{2} = {4, 0}^{2} + {6, 0}^{2} - 2 \cdot 6, 0 \cdot 4, 0 \cdot cos (∠ B C D)$

$49, 0 = 16, 0 + 36, 0 - 48, 0 \cdot \cos (∠ B C D)$

$\cos (∠ B C D) = \frac{- 3, 0}{- 48, 0} = \frac{1}{16}$

$∠ B C D = arccos (\frac{1}{16}) \approx {86, 4}^{\circ}$

Arealet av trekanten regner vi nå ut med arealsetningen.

$A_{△ B C D} = \frac{4, 0 \cdot 6, 0 \cdot sin (86, 4^{\circ})}{2} \approx 12, 0$

Arealet av firkanten $A B C D$ er

$A_{△ A B D} + A_{△ B C D} \approx 12, 0 + 17, 3 = 29, 3$

Svar: Arealet av firkanten er omtrent $29, 3$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Trigonometri

Læren om forholdet mellom vinkler og sider i en trekant. De trigonometriske funksjonene sinus og cosinus er de viktigste redskapene i denne teorien.

trigonometri

Flere eksempler på hvordan man bruker arealsetningen finner du i artikkelen Arealsetningen.

For å øve mer, se oppgavesettet om areal i Treningsleiren.

Oppgave 3 (4 poeng) Nettkode: E-4BB2

4000 menn og 6000 kvinner deltar i en undersøkelse. Det viser seg at 8 % av mennene og 1 % av kvinnene som deltar i undersøkelsen, er fargeblinde.

a)

Regn ut hvor mange fargeblinde personer det er som deltar i undersøkelsen, og bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person som deltar i undersøkelsen, er fargeblind.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Alle personene i undersøkelsen har like stor sannsynlighet for å bli valgt, vi kan derfor finne

Sannsynlighet

sannsynlighet

ved å se på forholdet mellom antall

Gunstig utfall

Et gunstig utfall er den hendelsen som er interessant for oss.

Eksempel: Vi skal finne sannsynligheten for å få terningkast 1 eller 6. Av de seks mulige utfallene er 1 og 6 gunstige utfall.

Se Hendelse

gunstige utfall

og antall mulige utfall.

For å finne sannsynligheten for at vi trekker en person som er fargeblind, kan vi se på antall gunstige utfall dividert med antall mulige. Antall gunstige utfall er antall personer som er fargeblinde. Da må vi finne hvor mange menn som er fargeblind og hvor mange kvinner som er fargeblinde, og summere.

Vi får oppgitt at $8 %$ av mennene er fargeblinde. Av de $4000$ mennene som deltar i undersøkelsen har vi at

$\frac{8}{100} \cdot 4000 = 320$ ,

altså $320$ av mennene i undersøkelsen fargeblinde.

$1 %$ av kvinnene er fargeblinde, da har vi

$\frac{1}{100} \cdot 6000 = 60$ ,

som gir at av de $6000$ kvinnene som deltok i undersøkelsen er $60$ fargeblinde.

Totalt er det $320 + 60 = 380$ fargeblinde personer med i undersøkelsen. Blant totalt $10 000$ deltakere, som er mulige utfall, er sannsynligheten for at en tilfeldig valt person er fargeblind gitt ved

$\frac{380}{10000} = \frac{19}{500} = 0, 038 = 3, 8 %$ .

Svar: Det er $380$ fargeblinde med, og sannsynligheten er $3, 8 %$

Mer om

Denne oppgaven er om

Sannsynlighet

sannsynlighet

Flere forklaringer og eksempler på sannsynlighet finner du i artikkelen Hvordan finner vi uniform sannsynlighet? lynkurset Sannsynlighet.

For å øve mer, se oppgavesettet om uavhengighet i Treningsleiren.

b)

Tenk deg at vi samler de fargeblinde personene som deltar i undersøkelsen, i en gruppe. Fra denne gruppen velger vi tilfeldig én person.

Bestem sannsynligheten for at vi velger en kvinne.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi kan finne sannsynligheten ved å se på forholdet mellom antall gunstige utfall og antall mulige.

Vi ser på sannsynligheten for at vi velger en kvinne fra gruppen med de fargeblinde. Antall mulige utfall er antall fargeblinde, som vi fra oppgave a) vet at er $380$ . Gunstige utfall er antall kvinner som er fargeblinde personer. Fra oppgave a) vet vi at $60$ kvinner er fargeblinde.

Sannsynligheten er da

$\frac{60}{380} = \frac{3}{19} \approx 0, 158 = 15, 8 %$

for at en tilfeldig valgt fargeblind person er en kvinne.

Svar: $15, 8 %$

Mer om

Denne oppgaven handler om

Sannsynlighet

sannsynlighet

Flere eksempler og forklaringer på hvordan man regner ut sannsynlighet finner du i lynkurset Sannsynlighet.

For å øve mer, se oppgavesettet om sannsynlighetsregning i Treningsleiren.

Oppgave 4 (4 poeng) Nettkode: E-4BB5

Denne oppgaven tar for seg binomisk fordeling som ikke lenger er pensum på læreplanen i 1T.

En undersøkelse viser at én av tre personer som bor i Oslo, ønsker å flytte fra byen. Vi velger tilfeldig 100 personer som bor i Oslo.

a)

Bestem sannsynligheten for at nøyaktig 30 av de 100 personene ønsker å flytte fra byen.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Dette er et

Binomisk forsøk

Et binomisk forsøk må tilfredsstille følgende krav:

Antall delforsøk n er fast.
Alle delforsøkene er uavhengige.
For hvert delforsøk er det kun to mulige utfall. Det utfallet vi er interessert i kalles for suksess, mens det andre er kalt for fiasko.
For hvert delforsøk er sannsynligheten for suksess lik p.

binomisk forsøk

, det kan vi se ved at vi har gjort

100

delforsøk, der vi kun har to utfall, enten at personen ønsker å flytte fra byen, eller ikke. Sannsynligheten for at personen ønsker å flytte fra byen er den samme for alle vi spør, nemlig

\frac{1}{3}

Vi antar også at delforsøkene er uavhengige.

Vi skal finne sannsynligheten for at nøyaktig $30$ av de $100$ personen vi spør ønsker å flytte fra byen. Da kan bruke sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra.

Under "Vis" i menyen oppe i GeoGebra velger vi "Sannsynlighetskalkulator". Da får vi opp

Vi har et binomisk forsøk, så i stedet for normalfordeling velger vi binomisk fordeling. Nå må vi fylle inn for $n og p$ , hvor $n$ er antall delforsøk. Vi spør $100$ personer, altså er $n = 100$ . Siden én av tre personer ønsker å flytte, er sannsynligheten for at en tilfeldig person ønsker å flytte $p = \frac{1}{3}$ .

Vi ønsker å finne sannsynligheten for at nøyaktig $30$ personer ønsker å flytte. Da kan vi skrive inn $P (30 \leq X \leq 30)$ . Da får vi opp dette bildet:

Her kan vi se at sannsynligheten for at nøyaktig $30$ personer ønsker å flytte er $0, 0673 \approx 6, 7 %$ .

Alternativ løsning

Vi kan også løse denne oppgaven ved å bruke at i et binomisk forsøk er sannsynligheten for at nøyaktig $k$ personer ønker å flytte fra byen er gitt ved

$(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}$

der $n$ er antall delforsøk og $p$ sannsynligheten for hvert enkelt forsøk.

Siden én av tre personer ønsker å flytte, er sannsynligheten for at en tilfeldig person ønsker å flytte lik $p = \frac{1}{3}$ . Sannsynligheten for at 30 personer vil flytte er derfor lik $(\frac{1}{3})^{30}$ .

Sannsynligheten for at en person ikke ønsker å flytte er lik, $(1 - p) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ . Sannsynligheten for at 70 personer vil bli er lik $(\frac{2}{3})^{70}$ . $(\begin{matrix} 100 \\ 30 \end{matrix})$ er antall mulige rekkefølger de 30 personene plasseres i. Derfor er sannsynligheten lik

$(\binom{100}{30}) \cdot {(\frac{1}{3})}^{30} \cdot {(\frac{2}{3})}^{70} \approx 0, 067 = 6, 7 %$ .

Svar: 6.7%

Mer om

Denne oppgaven er om

Sannsynlighet

sannsynlighet

Binomialkoeffisient

Binomialkoeffisienten

$(\begin{matrix} n \\ m \end{matrix}) = \frac{n!}{m! (n - m)!}$

hvor $n! = n \cdot (n - 1) \cdot \cdot \cdot 2 \cdot 1$ ,

forteller hvor mange måter det kan trekkes m objekter ut fra en samling av n gjenstander uten tilbakelegging.

binomialkoeffisienten

Flere forklaringer og eksempler på hva man bruker binomialkoeffisienter til finner du i artikkelen Binomiske forsøk.

For å øve mer, se oppgavesettet om binomisk sannsynlighet i Treningsleieren.

b)

Bestem sannsynligheten for at mellom 30 og 50 av de 100 personene ønsker å flytte fra byen.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi skal finne sannsynligheten for at det mellom $30$ og $50$ personer ønsker å flytte. Dette kan vi gjøre ved å bruke sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra.

Vi vil finne sannsynligheten for at mellom $30$ og $50$ personer ønsker å flytte, altså summen av sannsynligheten for $k \in [31, 49]$ . Da kan vi bruke sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra som i oppgave a).

Nå kan vi skrive inn $P (31 \leq x \leq 49)$ , og får da

der sannsynlighetene for alle $k$ i intervallet over er summert.

Da kan vi se at sannsynligheten er $0, 7228 \approx 72, 3 %$

Svar: Omtrent $72, 3$ %.

Mer om

Denne oppgaven handler om

Sannsynlighet

sannsynlighet

Binomialkoeffisienter

De koeffisientene man får når en opphøyer (x+y) i et naturlig tall.

binomialkoeffisienter

Flere forklaringer og eksempler finner du i artikkelen Binomiske forsøk i lynkurset Sannsynlighet (del II).

For å øve mer, se oppgavesettet om binomisk sannsynlighet i Treningsleieren.

Oppgave 5 (4 poeng) Nettkode: E-4BB9

- I en undersøkelse ble $1000$ personer spurt om ferievanene sine.

- En av fem svarte at de ville trene i ferien.

- $21 %$ av mennene og $16 %$ av kvinnene svarte at de ville trene i ferien.

a)

Sett opp et likningssystem som du kan bruke til å bestemme hvor mange menn og hvor mange kvinner som deltok i undersøkelsen det er vist til ovenfor.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi bruker informasjonen vi har fått i oppgaven til å sette opp et

Ligningssett

Et ligningssett er to eller flere ligninger med to eller flere ukjente.

likningssystem

Vi finner først ut hvor mange av de som deltok som ville trene i ferien. Da har vi at $\frac{1}{5}$ av $1000$ deltakere er det samme som

$\frac{1}{5} \cdot 1000 = 200$ .

Videre lar vi $M$ stå for menn og $K$ for kvinner.

Vi får opplyst at $21 %$ av menn ville trene og dette er det samme som $0, 21 \cdot M$ og $16 %$ av kvinner ville trene, som er det samme som $0, 16 \cdot K$ .

Dette gir oss at

$0, 21 \cdot M + 0, 16 K = 200$ .

Samtidig vet vi at alle menn og alle kvinner til sammen er 1000 personer.

$M + K = 1000$

Da har vi to likninger som utgjør likningssystemet vårt.

Svar: $[\begin{matrix} 0, 21 M + 0, 16 K & = & 200 \\ M + K & = & 1000 \end{matrix}]$

Mer om

Denne oppgaven er om

Ligningssett

Et ligningssett er to eller flere ligninger med to eller flere ukjente.

likningssystemer

Flere forklaringer og eksempler på hvordan man løser flere likninger samtidig finner du i lynkurset Lineære likninger med flere ukjente.

For å øve mer, se oppgavesettet om likningssystem i Treningsleiren.

b)

Hvor mange menn og hvor mange kvinner deltok i undersøkelsen?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi må løse likningssystemet fra deloppgave a) og vi bruker CAS i

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

Vi løser

Ligningssett

Et ligningssett er to eller flere ligninger med to eller flere ukjente.

likningssystemet

vi fant i oppgave a). Dette kan gjøres i CAS. I alternativ løsning viser vi hvordan vi kan løse oppgaven ved regning.

Vi skriver inn hver av likningene og bruker Løs-kommandoen. Da får vi

Vi ser at

$M = 800 og K = 200$ .

Svar: Det er 800 menn og 200 kvinner i undersøkelsen.

Alternativ løsning

$[\begin{matrix} 0, 21 M + 0, 16 K & = & 200 \\ M + K & = & 1000 \end{matrix}]$

Vi bruker substitusjonsmetoden og skriver den andre likningen om til

$M = 1000 - K$

Nå setter vi inn dette uttrykket for $M$ i den første likningen

$0, 21 (1000 - K) + 0, 16 K = 200$

Vi løser parentesen og regner ut

$210 - 0, 21 K + 0, 16 K = 200$

$- 0, 05 K = - 10$

$K = 200$

Og nå setter vi dette i $M = 1000 - K og$ får at $M = 800 .$

Mer om

Denne oppgaven er om

Ligningssett

Et ligningssett er to eller flere ligninger med to eller flere ukjente.

likningssystemer

Flere eksempler finner du i lynkurset Lineære likninger med flere ukjente. Lynkurset om GeoGebra er under utarbeidelse og kommer snart.

For å øve mer, se oppgavesettet om likningsssystem i Treningsleiren.

Oppgave 6 (8 poeng) Nettkode: E-4BBD

Funksjonen $h$ gitt ved

$h (t) = 3, 25 t^{3} - 50 t^{2} + 170 t + 700$

var en god modell for hjortebestanden i en kommune i perioden 1990–2000. Ifølge modellen var det $h (t)$ hjort i kommunen t år etter 1. januar 1990.

a)

Tegn grafen til $h$ for $t \in [0, 10]$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi bruker

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

for å tegne grafen for

t

-verdier fra

0

til

10

For å plotte funksjonen i GeoGebra kan vi bruke kommandoen Funksjon.

Vi vil ha

t

som variabel, og vil tegne grafen for

t \in [0, 10]

. Da skriver vi inn

h(t)=Funksjon[3.25*t^3-50*t^2+170*t+700, t, 0, 10].

Vi stiller på aksene og setter navn på aksene, da får vi resultat som vist under.

Svar:

Mer om

Denne oppgaven handler om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Graf

graf

Flere eksempler på hvordan man tegner grafen til en funksjon, finner du i artikkelen Grafen til en funksjon. Lynkurset om GeoGebra er under utarbeidelse og kommer snart.

For å øve mer, se oppgavesettet om grafisk framstilling i Treningsleiren.

b)

Når var hjortebestanden størst, og hvor mange hjort var det i kommunen da?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi bruker

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

til å finne

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunktet

til grafen.

Vi kan finne når hjortebestanden var størst ved å finne toppunktet til grafen til $h$ . Et toppunkt er et ekstremalpunkt, og vi kan bruke kommandoen

Ekstremalpunkt[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]

til å finne ekstremalpunktene til grafen.

Vi skriver inn Ekstremalpunkt[h,0,10] og får

Her kan vi se at grafen til $h$ har et toppunkt for $t = 2, 15$ og et bunnpunkt når $t = 8, 11$ . Førstekoordinaten til toppunktet forteller oss at bestanden var størst etter $2, 15$ år, altså litt ut i $1992$ . Andrekoordinaten til toppunktet forteller oss hvor mange gjort det var da, altså omtrent $867$ hjort.

Svar: Hjortebestanden var størst litt ut i $1992$ . Da var det omtrent 867 hjort i kommunen.

Mer om

Denne oppgaven er om

Ekstremalpunkter

Ekstremalpunkter er en samlebetegnelse på topp- og bunnpunkter.

ekstremalpunkter

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Topp- og bunnpunkter i lynkurset Funksjonsdrøfting.

For å øve mer, se oppgavesettet om ekstremalpunkter i Treningsleiren.

c)

Løs ulikheten $h (t) > 850$ grafisk, og forklar hva løsningen forteller om hjortebestanden.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi vil finne for hvilke $t$ -verdier funksjonsverdiene $h (t)$ er større enn $850$ , det er det samme som at $y$ -verdien til grafen er større enn $850$ . Vi plotter inn $y = 850$ og ser på når grafen til $h$ ligger over denne linja.

Vi vil se når funksjonsverdiene til $h (t) > 850$ , som er det samme som når grafen til $h$ har $y$ -verdier større enn $850$ . For å finne når det er er kan vi tegne inn linja $y = 850$ og se når grafen til $h$ ligger over denne linja.

Vi skriver inn

y=850

i samme GeoGebra-vindu som vi brukte i a) og b). I algebrafeltet kan vi se at denne linja blir hetende $f$ .

Vi kan bruke verktøyet "Skjæring mellom to objekt" og velger $h og f$ .

Da får vi opp

Her kan vi se at grafen til $h$ ligger over linja $y = 850$ , altså at $h (t) > 850$ , for $t \in (1, 42, 2, 95)$ .

Siden $h (t)$ forteller hvor mange hjort det var $t$ år etter $1990$ , forteller dette oss at hjortebestanden var større enn $850$ hjort fra omtrent midt i 1991 til slutten av 1992.

Svar: Hjortebestanden var større enn $850$ fra omtrent midten av $1991$ til slutten av $1992$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Skjæringspunkt

skjæringspunkt

og ulikheter.

For flere forklaringer og eksempler se lynkurset Funksjonsdrøfting og artikkelen Grafiske løsninger av likninger. Flere forklaringer og eksempler på ulikheter finner du i lynkurset Ulikheter. Lynkurset om GeoGebra er under utarbeidelse og kommer snart.

For å øve mer, se oppgavesettet om skjæringspunkt i Treningsleiren.

d)

Bestem $h' (4)$ . Hva forteller svaret om hjortebestanden?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker

Vi skal finne den deriverte i ett punkt som er det samme som at vi finner den

Momentan vekstfart

Den momentane vekstfarten til funksjonen $f (x)$ i et punkt $x = a$ , er stigningstallet til tangenten til kurven i punktet.

momentane vekstfarten

i punktet. Vi kan bruke CAS til å finne den deriverte i

t = 4

For å finne den deriverte til $h (t)$ når $t = 4$ kan vi bruke CAS. Vi åpner CAS i samme GeoGebra-vindu i "Vis"-menyen.

Vi skriver inn "h" for å sjekke at $h (t)$ er definert. Videre kan vi skrive inn

h'(4).

Da får vi:

Så vi har at $h' (4) = - 74$ .

Den deriverte i ett punkt forteller oss om stigningen til grafen i dette punktet, så dette forteller oss at hjortebestanden var minkende, og etter akkurat fire år, altså i starten av $1994$ , lå bestanden an til å minke med 74 hjort i året.

Svar: $h' (4) = - 74$ som forteller oss at bestanden var avtakende med $74$ hjort i året i starten av $1994$ .

Mer om

Denne oppgaven handler om

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Flere forklaringer og eksempler på hvordan man finner en derivert finner du i lynkurset Derivasjon.

For få øve mer, se oppgavesettet om veksthastighet i Treningsleiren.

Oppgave 7 (6 poeng) Nettkode: E-4BBJ

Ovenfor ser du et rektangel $A B C D$ som er innskrevet i en sirkel. Sirkelen har sentrum i $S$ .

a)

Bestem radius i sirkelen dersom rektangelet skal ha lengde $10, 0$ og bredde $5, 0$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi kan se at

Radius

Radius er en rett linje fra sentrum av en sirkel eller kule og ut til sirkellinja eller kulens overflate. Radius sin lengde er den samme, uansett hvor på sirkelen eller kulen du måler.

radius

i sirkelen er hypotenusen i en

Rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er rett, altså 90 grader.

rettvinklet trekant

. Vi kjenner lengden og bredden til rektangelet, og kan bruke

Pytagoras læresetning

for å finne lengden til hypotenusen.

Radiusen i sirkelen er hypotenusen i en rettvinklet trekant, der katetene er halvparten av bredden og lengden til rektangelet. Siden vi kjenner lengden og bredden til rektangelet kan vi finne lengden til katetene og bruke Pytagoras læresetning.

Rektangelet har lengde $10, 0$ og derfor er $x = 5, 0$ . Høyden i trekanten er

$\frac{B C}{2} = \frac{5}{2}$ .

Vi regner ut radiusen med

Pytagoras læresetning

. Da får vi at

r^{2} = 5^{2} + (\frac{5}{2})^{2}

$r^{2} = 25 + \frac{25}{4}$

$r^{2} = \frac{125}{4}$

$r = \sqrt{\frac{125}{4}} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{4}} = \frac{5 \sqrt{5}}{2}$

Svar: $r = \frac{5 \sqrt{5}}{2}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Radius

Radius er en rett linje fra sentrum av en sirkel eller kule og ut til sirkellinja eller kulens overflate. Radius sin lengde er den samme, uansett hvor på sirkelen eller kulen du måler.

radius

Rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er rett, altså 90 grader.

rettvinklet trekant

Pytagoras læresetning

Pytagoras lœresetning.

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Pytagoras læresetning. Flere forklaringer og eksempler på likninger med en ukjent finner du i lynkurset Likninger med én ukjent.

For å øve mer, se oppgavesettet om Pytagoras læresetning i Treningsleiren.

b)

Et rektangel med lengde $2 x$ er innskrevet i en sirkel med radius $10$ .

Vis at arealet av det innskrevne rektangelet kan skrives som

$A (x) = 4 x \cdot \sqrt{100 - x^{2}}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Arealet til et rektangel er produktet av lengde og bredde. Vi kan igjen se på den rettvinklede trekanten i rekatangelet. Nå kjenner vi den ene kateten og radiusen, og kan ved hjelp av Pytagoras læresetning finne et uttrykk for den siste kateten, som er halvparten av bredden til rektangelet.

Vi bruker figuren fra oppgavetekst for å gjøre det lettere å se hva vi skal finne. Vi marker punktet $E$ som er det siste hjørne i den rettvinklede trekanten i rektangelet. Vi vil altså se på $Δ S E C$ .

Hypotenusen $S C = 10, 0$ . Lengden $A B$ er $2 x$ , som betyr at den lengste kateten, $S E = x$ . Bredden av rektangelet, $B C$ , er dobbel så lang som siden $E C$ . Vi kan finne et uttrykk for $E C$ ved hjelp av

Pytagoras læresetning

x^{2} + E C^{2} = 10^{2}

E C^{2} = 10^{2} - x^{2}

E C = \sqrt{10^{2} - x^{2}}

.

Det betyr at bredden til rektangelet

B C = 2 \sqrt{100 - x^{2}}

Arealet til et rektangelet er gitt ved $A = l \cdot b$ , der $l$ er lengden og $b$ er bredden til rektangelet. Nå kan vi sette inn for lengden og bredden og får at arealet til rektangelet er

$A = 2 x \cdot 2 \sqrt{100 - x^{2}} = 4 x \cdot \sqrt{100 - x^{2}}$

som var det vi ville frem til.

Svar: $A = 4 x \cdot \sqrt{100 - x^{2}}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Pytagoras læresetning

Pytagoras setning

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Arealsetningen. For flere forklaringer og eksempler på hvordan man løser andregradslikninger finner du i lynkurset Andregradslikninger.

For å øve mer, se oppgavesettet om areal i Treningsleiren.

c)

Bestem det største arealet rektangelet kan ha. Bestem lengden og bredden i dette rektangelet.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi kan se på arealet til rektangelet som en funksjon av $x$ og finne toppunktet til denne funksjonen. Til dette kan vi bruke

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

I oppgave c) fant vi et uttrykk for arealet til rektangelet. Vi vil skrive dette arealet som en funksjon av $x$ . Da kan vi skrive inn i GeoGebra

A(x)=4x*sqrt(100-x^2).

Vi finner

Ekstremalpunkt

Vi sier at et punkt $x = a$ er et ekstremalpunkt for en funksjon $f (x)$ hvis det enten er et toppunkt eller bunnpunkt for funksjonen.

ekstremalpunktene

til

A (x)

ved å bruke kommandoen i GeoGebra

Ekstremalpunkt[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ] og skriver inn

Ekstremalpunkt[A,-10,10]

og får opp

Vi har at det er ett ekstremalpunkt mellom $x = 0 og x = 10$ , og vi kan se at vi har et toppunkt når $x = 7, 07$ , og da er $A (7, 07) = 200$ det maksimale arealet rektangelet kan ha.

Nå kan vi sette inn for $x = 7, 07$ i uttrykket for lengden og bredden til rektangelet vi fant i oppgave b). Da får vi at lengden til rektangelet er $2 \cdot 7, 07 = 14, 14$ og bredden til rektangelet er $2 \cdot \sqrt{10^{2} - {7, 07}^{2}} = 14, 14$ .

Når rektangelet har størst mulig areal har vi at lengden og bredden er like lang, altså har vi et kvadrat.

Svar: Det største arealet rektangelet kan ha er 200, og da er både bredden og lengden lik $14, 14$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Ekstremalpunkt

Vi sier at et punkt $x = a$ er et ekstremalpunkt for en funksjon $f (x)$ hvis det enten er et toppunkt eller bunnpunkt for funksjonen.

ekstremalpunkter

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Topp- og bunnpunkt. Flere forklaringer og eksempler på hvordan man finner den deriverte finner du i lynkurset Derivasjon.

For å øve mer, se oppgavesettet om ekstremalpunkter i Treningsleiren.

Oppgave 8 (2 poeng) Nettkode: E-4BBO

Start med en brøk $\frac{c}{d}$ . Legg til 7 ganger brøkens nevner i både teller og nevner. Du får da en ny brøk. Trekk den nye brøken fra den opprinnelige brøken. Det uttrykket du nå får, skal være lik 8.

Hva må verdien av brøken $\frac{c}{d}$ da ha vært?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

$c og d$ er to ukjente og vi må løse en likning. Husk at vi alltid gjør det samme på begge sider av likningen.

Vi følger steg for steg det oppgaven sier, og det første vi skal gjøre er å legge til brøkens

Nevner

Tallet som står under brøkstreken i en brøk.
Nevneren forteller hvor mange like deler det hele er delt opp i.

Eksempel : $\frac{3}{7}$ . Tallet 7 er nevneren.

nevner

, som er

d

7

ganger, altså legger vi til

7 d

i teller og

Nevner

Tallet som står under brøkstreken i en brøk.
Nevneren forteller hvor mange like deler det hele er delt opp i.

Eksempel : $\frac{3}{7}$ . Tallet 7 er nevneren.

nevner

Da får vi

$\frac{c + 7 d}{d + 7 d} = \frac{c + 7 d}{8 d}$

Det neste vi skal gjøre er å trekke den nye brøken fra den opprinnelige, $\frac{c}{d}$ , som gir
$\frac{c}{d} - \frac{c + 7 d}{8 d}$ .

For å trekke sammen disse to brøkene, finner vi fellesnevneren som er $8 d$ . Vi utvider det første leddet ved å multiplisere teller og nevner med $8$ , og deretter kan vi trekker sammen.

$\frac{8 \cdot c}{8 \cdot d} - \frac{c + 7 d}{8 d} = \frac{8 c - (c + 7 d)}{8 d} = \frac{7 c - 7 d}{8 d} = \frac{7 (c - d)}{8 d}$

Vi får oppgitt at uttrykket vi nå har skal være lik $8$ så vi kan skrive

$\frac{7 (c - d)}{8 d} = 8$

Vi starter med å få $c$ og $d$ på hver sin side av likhetstegnet

$7 (c - d) = 64 d$

$7 c - 7 d = 64 d$

$7 c = 71 d$

Nå kan vi dividere med $7$ og får

$c = \frac{71 d}{7}$

og deretter dividerer vi med $d$ som gir

$\frac{c}{d} = \frac{71}{7}$ .

Svar: $\frac{71}{7}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Algebra

Algebra er den delen av matematikken som handler om strukturer, relasjoner og kvantiteter. I skolen er algebra ofte brukt som betegnelse på regning med bokstavuttrykk og ligninger.

Et algebrauttrykk kan være:

n + n + n + n + n = 5n

Her har vi lagt sammen n til sammen 5 ganger.

algebra

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Parenteser og faktorisering. Flere bevis finner du i lynkurset Litt om mengder, logikk og bevis.

For å øve mer, se oppgavesettet om algebraiske uttrykk i Treningsleiren.

MAT1013 2013 Vår

Del 1

Del 2

Eksamensinformasjon

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (1 poeng) Nettkode: E-4B8V

Løsningsforslag

Standardform

Standardform

Oppgave 2 (2 poeng) Nettkode: E-4B8X

Løsningsforslag

Alternativ løsning

Ligningssett

Skjæringspunkt

Oppgave 3 (2 poeng) Nettkode: E-4B93

Løsningsforslag

Felles faktor

Faktorisering

Teller

Nevner

Konjugatsetningen

Andre kvadratsetning

Faktorisering av uttrykk

Oppgave 4 (2 poeng) Nettkode: E-4B97

Løsningsforslag

Stigningstall

Konstant

Lineære funksjoner

Graf

Oppgave 5 (3 poeng) Nettkode: E-4B9A

Løsningsforslag

Logaritme

Potens

Trigonometri

Oppgave 6 (2 poeng) Nettkode: E-4B9G

Løsningsforslag

Sannsynlighet

Produktsetningen

Addisjonssetningen

Sannsynlighet

Oppgave 7 (8 poeng) Nettkode: E-4B9I

a)

Løsningsforslag a)

Nullpunkt

abc-formelen

Funksjon

Nullpunkt

b)

Løsningsforslag b)

Ekstremalpunkt

Koordinat

Funksjon

Ekstremalpunkt

c)

Løsningsforslag c)

Andregradsuttrykk

Toppunkt

Funksjon

Graf

d)

Løsningsforslag d)

Tangent

Stigningstall

Tangent

Oppgave 8 (4 poeng) Nettkode: E-4B9W

a)

Løsningsforslag a)

Rettvinklet trekant

Pytagoras læresetning

Pytagoras læresetning

b)

Løsningsforslag b)

Areal

Algebra

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (2 poeng) Nettkode: E-4BAP

Løsningsforslag

Hypotenus

Katet

Pytagoras læresetning