Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Sammenhengen mellom røtter og potenser

Vi har hittil bare tatt for oss potenser der eksponentene var hele tall. Vi kan, hvis vi forutsetter at grunntallet a0, også definere potenser der eksponentene ikke er hele tall, men hvilke som helst positive tall, for eksempel en brøk.

La oss først prøve oss med en potens av a med eksponent 12. Denne potensen kan vi skrive a12. Men hva skal dette bety?

Vi forutsetter at regnereglene for potenser fortsatt skal gjelde. Vi husker for eksempel at:

(am)n=amn.     

Vi setter nå inn m=12 og n=2, og får

(a12)2=a122=a1=a

Men i avsnittet om kvadratrøtter ser vi at (a)2=a. Dermed er både (a12)2=a, og (a)2=a. Det betyr at vi må definere a12=a. Helt tilsvarende vil vi finne at a13=a3 , siden

(a13)3=a133=a.

Vi forstår at a opphøyd i 1n  kan settes som n-te rota til et tall aa1n=an. 
 
Kan vi ha en potens med brøk der telleren er forskjelling fra 1 som eksponenten? Ja.

Husk at mn=m1n

Denne regelen sammen med potensregelen gir oss at et grunntall a opphøyd i en brøk mn er lik

amn=am1n=(am)1n=amn.

 

Definisjon

For et tall a0 og en brøk mn sier vi at amn=amn.


Legg merke til at vi like gjerne kunne ha skrevet:

amn=a1nm=(a1n)m=amn.

Dette forteller oss at amn=amn .

Eller sagt med ord: Vi kan opphøye i en potens og trekke ut rot av et tall i vilkårlig rekkefølge. Resultatet blir likt.

 

Eksempel 1

Vi vil regne ut 1634. Det kan vi nå gjøre på forskjellige måter.

1634=1634=(24)34=2344=12124=2124=23=8    

Alternativt:

1634=1643=(24)43=(244)3=8.

Begrep

  • Brøk

    Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

    Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

  • Eksponent

    En potens er et tall på formen xn, der verdien til n forteller hvor mange ganger vi ønsker å multiplisere x med seg selv. n kalles eksponenten.

    xn = x · x · x...· x, n ganger

  • Grunntall

    En potens består av et grunntall og en eksponent.

    Eksempel: 4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ , der 4 er grunntall og 3 er eksponent.

  • Hele tall

    Hele tall er de tallene vi oftest teller: 1, 2, 3, 4... De hele tallene inkluderer også de negative tallene; -1, -2, -3...

    Symbolet for mengden av hele tall er ℤ.

  • Kvadratrot

    Kvadratrot har symbolet .

    Kvadratroten av et tall a er et tall b, som multiplisert med seg selv gir a.

    Kvadratroten av et positivt tall, for eksempel 16, er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir 16. Kvadratroten av 16 er 4, fordi 44=16. Det skrives 16=4.

  • Positive tall

    Tall som er større enn null kalles positive tall.

  • Potens

    En potens er et produkt der alle faktorene er like.

    Eksempel:
    4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ .
    3-tallet forteller hvor mange ganger 4 her skal stå som faktor. 4 er her grunntallet og 3 er eksponenten i potensen.

    Generelt:
    bª betyr et produkt med a stykker faktorer som alle er lik b.
    Slik:
    b · b · b · b · b ………·b (b er faktor a ganger).

  • Rot

    Roten (=kvadratroten) av et positivt tall, for eksempel 16, er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir 16. Kvadratroten av 16 er altså +4, fordi 4·4=16. Det skrives 16=4.

    Generelt: Kvadratroten av et positivt tall T er det positive tallet k som multiplisert med seg selv gir T.

    OBS!
    - En kan ikke trekke roten av et negativt tall.
    - Roten er alltid positiv.