www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt
Tilbake til eksamensoversikten

Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.


Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

AkerBP PGS

REA3022 2016 Vår

Eksamenstid:
5 timer:
Del 1 skal leveres inn etter 3 timer.
Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler:

Del 1:
Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Del 2:
Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:
Del 1 har 7 oppgaver. Del 2 har 4 oppgaver.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Dersom oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, kan en alternativ metode gi lav/noe uttelling.

Bruk av digitale verktøy som graftegner og CAS skal dokumenteres med utskrift eller gjennom en IKT-basert eksamen.

Veiledning om vurderingen:
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

  • viser regneferdigheter og matematisk forståelse
  • gjennomfører logiske resonnementer
  • ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
  • kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
  • forklarer framgangsmåter og begrunner svar
  • skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger
  • vurderer om svar er rimelige

Andre opplysninger:
Kilder for bilder, tegninger osv.:

  • Alle grafer og figurer: Utdanningsdirektoratet

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (5 poeng) Nettkode: E-4D8B

Deriver funksjonene gitt ved

a)

fx=-3x2+6x-4

Løs oppgaven her

b)

gx=5lnx3-x

Løs oppgaven her

c)

hx=x-1x+1

Løs oppgaven her

Oppgave 2 (5 poeng) Nettkode: E-4D8F

Polynomet P er gitt ved

Px=x3-7x2+14x+k

a)

Vis at P er delelig med x-2 hvis og bare hvis k=-8.

Løs oppgaven her

b)

Sett k=-8 og faktoriser P ved hjelp av lineære faktorer.

Løs oppgaven her

c)

Løs ulikheten Px0.

Løs oppgaven her

Oppgave 3 (7 poeng) Nettkode: E-4D8J

Funksjonen f er gitt ved

fx=x2e1-x2     ,      Df=

a)

Vis at f'x=2x1-x2e1-x2

Løs oppgaven her

b)

Bestem eventuelle topp- og bunnpunkt på grafen til  f.

Løs oppgaven her

c)

Lag en skisse av grafen til f, når du får vite at fx0 når x±.

Løs oppgaven her

d)

Bruk skissen til å avgjøre hvor mange vendepunkt grafen til  f  har.

Marker vendepunktene på skissen.

Løs oppgaven her

Oppgave 4 (4 poeng) Nettkode: E-4D8P

En likesidet  ΔABC har side lik 6 cm. Høyden fra C treffer AB  i  HBEDC er et kvadrat. En sirkelbue med sentrum i C og radius CE treffer forlengelsen av AB i punktet  F. Se figuren nedenfor.

Trekant ABC og firkant BEDC.

a)

Bestem lengdene av linjestykkene CHCF og HF.

Løs oppgaven her

b)

Vis at forholdet AFAB er lik «det gylne snitt» φ=1+52.

Løs oppgaven her

Oppgave 5 (6 poeng) Nettkode: E-4D8S

Punktene A1, 1B5, 2 og C3, 5 er gitt.

a)

Bruk vektorregning til å avgjøre om punktene ligger på en rett linje.

Løs oppgaven her

b)

Punktet  D er gitt ved D0, t.

Bestem eventuelle verdier av t slik at CDA=90.

Løs oppgaven her

c)

Bestem eventuelle verdier av t slik at ABCD blir et trapes.

Løs oppgaven her

Oppgave 6 (4 poeng) Nettkode: E-4D8W

Elevene på Vg1 må velge fag for Vg2. Camilla vil ha realfag som sitt programområde og må derfor velge minst to realfag. Skolen tilbyr fem realfag og åtte fag fra andre programområder.

a)

Hvor mange fagkombinasjoner er mulig dersom hun skal ha to realfag og to andre fag?

Løs oppgaven her

b)

Camilla skal velge fire fag. Hvor mange fagkombinasjoner er mulig dersom minst to av fagene skal være realfag?

Løs oppgaven her

Oppgave 7 (5 poeng) Nettkode: E-4D90

En funksjon f er gitt på formen

fx=x2+px+q

Vi kan finne eventuelle nullpunkt til f ved hjelp av en geometrisk konstruksjon. Framgangsmåten er gitt i boksen nedenfor.

1) Sett av punktene A0,1 og B-p,q i et koordinatsystem.

2) Konstruer sirkelen som har AB som diameter.

3) Skjæringspunktene mellom sirkelen og x-aksen er nullpunktene til f.

a)

Bruk framgangsmåten til å konstruere sirkelen når

fx=x2-2x-8

Hva er nullpunktene til f , ifølge konstruksjonen?

Løs oppgaven her

b)

Vi vil nå se på det generelle tilfellet

fx=x2+px+q

 

Vis at sentrum S og radien r til sirkelen er gitt ved

S-p2, q+12 og r=p2+q-124

Løs oppgaven her

c)

Bestem likningen for sirkelen uttrykt ved p og q . Vis at sirkelen skjærer x-aksen i nullpunktene til funksjonen f .

Løs oppgaven her

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (6 poeng) Nettkode: E-4D94

Vi har to bunker med kort. I bunke A er det 5 røde og 3 svarte kort. I bunke B er det 3 røde og 4 svarte kort.

Vi velger tilfeldig én av bunkene og trekker tilfeldig 2 kort fra denne bunken. Vi definerer følgende hendelser:

F:  Vi velger bunke  A

R: Vi trekker 2 røde kort

a)

Bestem PFPF- ,  PR|F og PR|F- .

Løs oppgaven her

b)

Bestem PR.

Løs oppgaven her

c)

Bruk Bayes’ setning til å bestemme PF|R.

Løs oppgaven her

Oppgave 2 (6 poeng) Nettkode: E-4D98

Funksjonen f er gitt ved

fx=5e-x2   ,    x0

a)

Bruk graftegner til å tegne grafen til  f.

Løs oppgaven her

b)

Rektangelet OABC er gitt ved punktene O0, 0Ax, 0Bx, fx og C0, fx.

Forklar at arealet til rektangelet er gitt ved

Tx=5xe-x2

Løs oppgaven her

c)

Bestem det største arealet rektangelet kan få. Bestem den tilhørende verdien for x.

Løs oppgaven her

Oppgave 3 (8 poeng) Nettkode: E-4D9D

Gitt tre punkt A1, 3B4, 0 og C5, 5 .

a)

Bestem en parameterframstilling for linjen l gjennom B og C.

Løs oppgaven her

b)

Et punkt P ligger på linjen l.  Forklar at vi kan skrive AP=3+t,-3+5t for en t.

Løs oppgaven her

c)

Bruk blant annet skalarprodukt til å finne koordinatene til P  slik at ABAP .

Løs oppgaven her

d)

Bruk CAS til å bestemme hvilke koordinater P  kan ha når BAP=45 .

Løs oppgaven her

Oppgave 4 (4 poeng) Nettkode: E-4D9K

Funksjonen f er gitt ved fx=1x, x0. 

ΔABC har hjørnene Ar, frBs, fs og Ct, ft på grafen til  f, der r, st er tre parametere.

Skisse av grafen til f.

a)

Vis at linjen l1 gjennom A som står normalt på linjen gjennom B og C, er gitt ved

y=stx-r+1r

Løs oppgaven her

b)

På samme måte kan vi vise at linjen l2 gjennom B som står normalt på linjen gjennom A og C, er gitt ved

y=rtx-s+1s

Linjene l1 og l2 skjærer hverandre i et punkt  P. Bruk CAS til å vise at P alltid vil ligge på grafen til f.

Løs oppgaven her