Regneregler for kvadratrøtter

 

er de tallene vi får som svar når vi multipliserer et naturlig tall med seg selv. Vi sier at vi kvadrere et naturlig tall. De ti første, laveste kvadrattallene større enn 0 er $1,4,9,16,25,36,49,64,81$ og $100$.

Det å kvadrere tall og å trekke ut kvadratrot av tall er motsatte talloperasjoner på de naturlige tallene. Derfor kan vi, når vi skal finne kvadratroten, først finne primtallsfaktoriseringen av tallet og se om vi kan bruke den. Vi ser på noen eksempler.

Eksempel 1.

Vi starter med tallet $7$. Vi kvadrerer tallet og får

$7^2=7\cdot 7=49$.

Kvadratroten er $\sqrt{49}=7$.
Men hvis vi starter med et negativt tall, blir det annerledes. Vi vet at

${(-7)}^2=49$.

Men ved å ta kvadratroten av $49$ kommer vi ikke tilbake til $-7$.

Kan vi gjøre noe lurt når vi skal finne kvadratroten til et stort tall, for eksempel 324? Først ser vi på et eksempel med et mindre tall.

Eksempel 2.

Regn ut $\sqrt{36}$.
Hvis vi er heldige husker vi at $\sqrt{36}=6$. Men la oss nå primfaktorisere $36$:

$36=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3=2^2\cdot 3^2$
Vi vet også at

$2^2\cdot 3^2=4\cdot 9=36$

$2=\sqrt{4}$

$3=\sqrt{9}$
Da må vi ha

$\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{9}$

 

Regel

Kvadratroten av et produkt av to positive tall $a$ og $b$ er lik produktet av kvadratrøttene av hvert tall: $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$

For å forklare hvorfor det må være slik, går vi tilbake til definisjonen av kvadratrot. Siden alle kvadratrøtter er større enn eller lik null, er $\sqrt{a}\ge 0$ og $\sqrt{b}\ge 0$ . Men da er også $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\ge 0$ , siden produktet av to positive tall er et positivt tall. I tillegg er, og det er det avgjørende:

${(\sqrt{a}\cdot \sqrt{b})}^2=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\cdot \sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\cdot \sqrt{b}=a\cdot b$.

 

Eksempel 3.

Nå kan vi finne kvadratroten til $324$. Vi faktoriserer og finner at

 $324=4\cdot {81=2}^2\cdot 9^2$. Og da er

$\sqrt{324}=\sqrt{2^2}\cdot \sqrt{9^2}=2\cdot 9=18$.

Eksempel 4.

Regn ut $\sqrt{\frac{49}{81}}$.

Vi ser at:

$\sqrt{\frac{49}{81}}=\sqrt{\frac{7^2}{9^2}}=\sqrt{{\left(\frac{7}{9}\right)}^2}=\frac{7}{9}$.

I beregningene brukte vi potensregelen: ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$.

Vi legger merke til at vi også har

$\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{81}}=\frac{7}{9}$.

Regel

Kvadratroten av en brøk av to positive tall $a$ og $b$ er lik kvadratroten av teller delt på kvadratroten av nevner: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

Vi ser direkte ved kvadrering at dette stemmer, fordi ifølge reglene for regning med potenser av en brøk har vi at

${\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)}^2=\frac{{\left(\sqrt{a}\right)}^2}{{\left(\sqrt{b}\right)}^2}=\frac{a}{b}$.

Reglene over kan brukes til å forenkle uttrykk som inneholder kvadratrøtter. Når vi skal gjøre det, lønner det seg å finne de største kvadrattallene som kan faktoriseres ut av tallene under rottegnene.

 

Eksempel 5.

Regn ut: $\frac{\sqrt{162}+\sqrt{50}}{\sqrt{8}}$.

Vi faktoriserer ut kvadrattall:

$\frac{\sqrt{162}+\sqrt{50}}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{81\cdot 2}+\sqrt{25\cdot 2}}{\sqrt{4\cdot 2}}=\frac{\sqrt{9^2\cdot 2}+\sqrt{5^2\cdot 2}}{\sqrt{2^2\cdot 2}}$

Siden vi kan dele opp faktorer når vi regner med kvadratrøtter, får vi:

 $\frac{\sqrt{9^2\cdot 2}+\sqrt{5^2\cdot 2}}{\sqrt{2^2\cdot 2}}=\frac{\sqrt{9^2}\cdot \sqrt{2}+\sqrt{5^2}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2^2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{9\cdot \sqrt{2}+5\cdot \sqrt{2}}{2\cdot \sqrt{2}}$ 

Videre har vi at

 $\frac{9\cdot \sqrt{2}+5\cdot \sqrt{2}}{2\cdot \sqrt{2}}=\frac{(9+5)\cdot \sqrt{2}}{2\cdot \sqrt{2}}=\frac{14\cdot \sqrt{2}}{2\cdot \sqrt{2}}=\frac{14}{2}=7$ 

 

Eksempel 4

Vi vil forenkle $\frac{\sqrt{175}+\sqrt{7}}{\sqrt{72}}$.

Vi bruker samme framgangsmåte som i forrige eksempel:

$\frac{\sqrt{175}+\sqrt{7}}{\sqrt{72}}=\frac{\sqrt{25\cdot 7}+\sqrt{7}}{\sqrt{36\cdot 2}}=\frac{5\sqrt{7}+\sqrt{7}}{6\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{7}}{6\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$

Til slutt kunne vi, om vi ønsket det, erstattet $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ med $\sqrt{\frac{7}{2}}$ eller med $\sqrt{3,5}$ .

Det er viktig å merke seg at selv om vi har regler for kvadratrøtter av produkt og kvotient, finnes ingen tilsvarende regel for kvadratrota av en sum $\sqrt{a+b}$ eller av en differens $\sqrt{a-b}$.

Vanlige feiloppfatninger er for eksempel å tro at $\sqrt{a+b}$ er det samme som $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ , eller at $\sqrt{x^2+y^2}$ er det samme som $x+y$ . At dette er feil kan vi se ved å kvadrere begge uttrykkene:

${\sqrt{x^2+y^2}}^2=x^2+y^2$ mens ${(x+y)}^2=x^2+2xy+y^2$.
Vi kan også overbevise oss ved å prøve med talleksempler. Sett for eksempel

− $a=6,b=9$ og sammenlikn $\sqrt{a+b}$ med $\sqrt{a}+\sqrt{b}$
− $a=25,b=9$ og sammenlikn $\sqrt{a-b}$ med $\sqrt{a}-\sqrt{b}$
eller

− $x=4,y=3$ og sammenlikn $\sqrt{x^2+y^2}$ med $x+y$
− $x=5,y=3$ og sammenlikn $\sqrt{x^2-y^2}$ med