n-te røtter
Finnes det andre røtter en kvadratroten og kubikkroten?
22=4 gir at √4=2.
23=8 gir at 3√8=2.
24=16. Tallet 2 kaller vi fjerderoten av 16. Vi skriver 4√16. Nå er også (−2)4=16. Vi kaller likevel ikke −2 for fjerderoten av 16, av samme grunner som vi ikke kaller −2 for kvadratroten av 4.
Vi definerer fjerderøtter helt tilsvarende som kvadratrøtter:
Definisjon |
|
Reglene for fjerderota av et produkt og en kvotient er akkurat som for kvadratrot, og gjelder kun for positive tall:
4√a⋅b=4√a⋅4√b4√ab=4√a4√b
Eksempel 1
Regn ut 4√8,1⋅105.
Vi deler opp og får
4√8,1⋅105=4√81⋅104=4√34⋅104=4√34⋅4√104=3⋅10=30.
Resultat:
4√8,1⋅105=30.
Eksempel 2.
Regn ut fjerderota 4√x8625.
Vi legger merke til at 625=252=(52)2=52⋅2=54, og dermed blir
4√x8625=4√(x2)44√54=x25.
Det er vel nå lett å tenke seg hva en femtert må være? Tilsvarende som for en tredjert er femteroten definert for alle tall, ikke bare de positive. Femterøtter følger akkurat de samme regler som tredjerøtter.
Vi får et mønster:
En sjetterot er definert helt tilsvarende som kvadrat- og fjerderot. Vi kan definere røtter av så høy orden vi ønsker. Kvadratrot har orden 2, kubikkrot har orden 3, fjerderot har orden 4, osv.
n-te røtter
Slik kan vi fortsette. Hvis a=bn, sier vi at b er n-te roten til b.
n-te roten
For et positivt tall n og et tall a, er n-te roten av a, tallet b slik at a=bn. Vi skriver n√a=b.
Hvis n er et partall, må a være et positivt tall.
Hvis n er et partall, må vi forutsette a≥0, og da skal vi ha n√a=±x slik at x er positiv.
Hvis n er et oddetall, er n√a definert for alle tall a og n√a er positiv eller negativ avhengig av om a>0 eller a<0.
Regnereglene for produkt og kvotient gjelder selvsagt også for n-te røtter:
n√a⋅b=n√a⋅n√bn√ab=n√an√b
Eksempel 3.
Regn ut 5√−32243.
Vi får 5√−32243=5√−32243=5√(−2)535=5√(−2)55√35=−23.
Del på Facebook
Begrep
-
Kvadratrot
Kvadratrot har symbolet √.
Kvadratroten av et tall a er et tall b, som multiplisert med seg selv gir a.
Kvadratroten av et positivt tall, for eksempel 16, er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir 16. Kvadratroten av 16 er 4, fordi 4⋅4=16. Det skrives √16=4.
-
Kvotient
Resultatet av en divisjon kalles en kvotient.
Eksempel: 32:8=4, her er 4 en kvotient.
-
Positive tall
Tall som er større enn null kalles positive tall.
Eksempel: 1, 78, 435.
-
Potens
En potens består av et grunntall opphøyd i en eksponent. Eksponenten sier hvor mange ganger grunntallet skal multipliseres med seg selv. En potens skrives på formen xn, som leses x opphøyd i n-te.
Eksempel: 43=4⋅4⋅4 -
Produkt
Produkt er et resultat av en multiplikasjon.
Eksempel: 2 · 7 = 14
14 er produktet, mens 2 og 7 kalles faktorer. -
Rot
Se Kvadratrot